第4章-第5节 数系的扩充与复数的引入

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）第五节数系的扩充与复数的引入考纲传真1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义.2.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减运算的几何意义．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若，则a＋bi为实数，若，则a＋bi为虚数，若，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．b＝0b≠0a＝0且b≠0a＝c，b＝d菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.a＝c，b＝－da2＋b2Z(a，b)OZ→＝(a，b)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈Rz1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝.z1z2＝．(a±c)＋(b±d)i(ac－bd)＋(bc＋ad)ia＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图4－5－1所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝，Z1Z2→＝.图4－5－1OZ1→＋OZ2→OZ2→－OZ1→菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【解析】依据复数的概念，(1)、(2)不正确，(4)正确．(3)中，虚轴上除原点外表示纯虚数．(3)错．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）2．(人教A版教材习题改编)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】因为z＝i(－2－i)＝1－2i，∴复数z对应的点(1，－2)在第四象限．【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）3．复数i1＋2i(i是虚数单位)的实部是()A.25B．－25C.15D．－15【解析】i1＋2i＝i1－2i1＋2i1－2i＝2＋i5＝25＋15i，故选A.【答案】A菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）4．(2013·江苏高考)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．【解析】z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝32＋－42＝5.【答案】5菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）5．(2013·课标全国Ⅱ卷改编)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________.【解析】z＝2i1－i＝2i1＋i1－i1＋i＝i(1＋i)＝i－1.【答案】i－1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向1复数的有关概念【例1】(1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·全国高考改编)设复数z－是复数z＝2i＋1的共轭复数，则z－＋|z|＝________.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【思路点拨】(1)分别验证“充分性”和“必要性”；(2)先化简复数z＝2i＋1，再求z－、|z|.【尝试解答】(1)若ab＝0，则当a＝1，b＝0时，a＋bi是实数，不是纯虚数，若a＋bi是纯虚数，由a＋bi＝a－bi知a＝0，b≠0，∴ab＝0，因此“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）(2)z＝2i＋1＝2－i＋12＝－i＋1，∴z－＝1＋i，|z|＝12＋－12＝2.因此z－＋|z|＝2＋1＋i.【答案】(1)B(2)2＋1＋i菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）规律方法11.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)组即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）变式训练1(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3【解析】因为a－103－i＝a－103＋i3－i3＋i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向2复数的代数运算【例2】(1)(2013·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i(2)(2012·湖北高考)若3＋bi1－i＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.【思路点拨】(1)利用复数除法，先求z－3，再求z的共轭复数；(2)利用复数相等的定义，求a，b，得复数a＋b.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【尝试解答】(1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝52－i＋3＝52＋i2－i2＋i＋3＝52＋i5＋3＝5＋i.∴z－＝5－i.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）(2)3＋bi1－i＝3＋bi1＋i2＝12[(3－b)＋(3＋b)i]＝3－b2＋3＋b2i.∴a＝3－b2，3＋b2＝b，解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.【答案】(1)D(2)3菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）规律方法21.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）变式训练2复数z＝(1＋3i)3，则z－i＝________.【解析】z＝(1＋3i)(1＋3i)2＝(1＋3i)(－2＋23i)＝－2＋6i2＝－8.∴z－i＝－8－i.【答案】－8－i菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）考向3复数及其运算的几何意义【例3】(2013·湖北高考改编)在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数z－对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：(1)点A所在的象限；(2)向量OB→对应的复数．【思路点拨】先化简复数z，求得共轭复数z－，进而确定点A、点B的坐标，运用复数的几何意义作出判定．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）【尝试解答】(1)z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝1＋i，所以z－＝1－i，所以点A(1，－1)位于第四象限．(2)又点A，B关于原点O对称．∴点B的坐标为B(－1,1)．因此向量OB→对应的复数为－1＋i.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）规律方法31.复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)及向量OZ→一一对应，相等向量表示同一复数．2．复数加减法运算可借助向量的平行四边形法则和三角形法则进行．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）变式训练3已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若OC→＝λOA→＋μOB→，(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．【解】由题意知3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)，∴3－4i＝(μ－λ)＋(2λ－μ)i，由复数相等知μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，解得λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝－1＋2＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）一个关键复数分类的关键是抓住z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数．一个实质复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）一种方法化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）从近两年的高考试题来看，复数的有关概念、复数的几何意义、复数的运算(特别是除法运算)是高考命题的重点，多以客观题形式呈现，属容易题，主要考查函数与方程、转化与化归的数学思想方法的应用．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）思想方法之十五转化思想在复数中的应用(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.【解析】∵(a＋i)(1＋i)＝bi，∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi，又∵a，b∈R.∴a－1＝0a＋1＝b解得a＝1b＝2∴a＋bi＝1＋2i.【答案】1＋2i菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习理科数学·（安徽专用）易错提示：(1)对i的幂化简错误．(2)不会用复数相等的定义转化为关于a，b的方程组求解．防范措施：(1)掌握复数的有关概念是正确解答的基础