上海市闸北区2015届高三二模数学理试题(含详细答案)

1闸北区2014学年度第二学期高三数学（理科）期中练习卷考生注意：1.本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3.本试卷共有18道试题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1.设幂函数()fx的图像经过点8,4，则函数()fx的奇偶性为.2.设复数122,12zizi，在复平面的对应的向量分别为,OAOB，则向量AB对应的复数所对应的点的坐标为.3.已知定义域为R的函数()yfx的图像关于点1,0对称，ygx是()yfx的反函数，若120xx，则12gxgx.4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中,,0,1abc，已知投篮一次得分的期望是2，则ab的最大值是.5.设12,12,N1,3,N3nnnnnann数列na的前n项和nS，则limnnS.6.设函数266,0,()4,0.xxxfxxx，若存在互不相等的实数123,,xxx满足123()()()fxfxfx，则123xxx的取值范围.7.若二项式1nxx展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是.9.从双曲线222210,0xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M是线段FP的中点，O为原点，则MOMT的值是.10.把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列,2015,nkaak若则.2123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536124579101214161719212325262830323436（a）(b)二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律零分11.下列命题中，正确的个数是（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）,ab为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥（）A.0B.1C.2D.312.在极坐标系中，关于曲线C:4sin()3，下列判断中正确的是（）A.曲线C关于直线56对称B.曲线C关于直线3对称C.曲线C关于点2,3对称D.曲线C关于点0,0对称13.已知O是正三角形ABC内部的一点，230OAOBOC,则OAC的面积与OAB的面积之比是（）A.32B.23C.2D.1三、解答题（本题满分75分）本题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要步骤14.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图AB是圆柱体1OO的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与,BC重合的任意一点，5,5,3ABBCCD（1）求直线AC与直线BD所成角的大小；（2）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求ACD的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积DOB1OAC315.（本题满分13分，第（1）小题各5分，第（2）小题各8分）如图所示，某市拟在长为8km道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数sin0,00,4yAxAx的图像，且图像的最高点为3,23S，赛道的后一部分为折线段MNP，且120MNP.（1）求MP、两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP长度的最大值.16.（本题满分16分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）已知圆221:18Cxy，点2:1,0C，点Q在圆1C上运动，2QC的垂直平分线交1QC于点P（1）求动点P的轨迹W方程；（2）过点10,3S且斜率为k的动直线l交曲线W于,AB两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.17.（本题满分18，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题9分）设函数()yfx的定义域为D，值域为A，如果存在函数()xgt，使得函数()yfgt的值域仍xyoSMNP844是A，那么称()xgt是函数()yfx的一个等值域变换.（1）判断下列函数()xgt是不是函数()yfx的一个等值域变换?说明你的理由；①2()log,0fxxx，()xgt1,0ttt；②2()1,Rfxxxx，()xgt2,Rtt.（2）设函数yfx的定义域为D，值域为A，函数gt的定义域为1D，值域为1A，那么“1DA”是否是“xgt是yfx的一个等值变换”的一个必要条件？说明理由.（3）设2logfxx的定义域为2,8，已知2231mttnxgtt是yfx的一个等值变换，且函数yfgt的定义域为R，求实数,mn的值.18.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）我们把一系列向量1,2,,iain按次序排成一列，称之为向量列，记作na.已知向量列na满足：11,1a，11111,,22nnnnnnnaxyxyxyn.（1）证明：数列na是等比数列；（2）设2lognnncaa，问数列nc中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由.（3）设n表示向量1na与na间的夹角，若2nnnb，对于任意的正整数n，不等式1221111log122annnabbb恒成立，求实数a的取值范围.5理科答案一．填空题1、偶函数；2、1,13、24、165、55186、1,67、478、ba9、①②④10、1030二．选择题11、B12、A13、B三．解答题14、（1）32arcsin10………………………………………………………5分（2）15………………………………………………………………7分15、解（1）依题意，有23A…………………………………………1分又34T，而2T，6………………………1分23sin6yx当4x时，223sin33y，4,3M，又8,0P22435MP………………………………………3分（2）解：法一：在MNP中，120MNP，5MP.设PMN，则060.……………………………………1分由正弦定理得sin120sinsin60MPNPMN，103sin3NP，103sin603MN，……………………………………………………3分故103103103sinsin60sin60333NPMN……3分060，当30时，折线段赛道MNP最长为3310.……………2分解法二：（2）在MNP中，120MNP，5.MP由余弦定理得2222MNNPMNNPCOSMNPMP，6即2225MNNPMNNP；…………………………3分故22252MNNPMNNPMNNP，从而23254MNNP…4分即1033MNNP，当且仅当MNNP时等号成立.………………2分亦即，设计为MNNP时，折线段赛道MNP最长为3310.注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①123943,26N；②123943,26N；③点N在线段MP的垂直平分线上等.16、（1）2QC的垂直平分线交1QC于点P，2PQPC.………………1分211112222PCPCPQPCQCCC，所以动点P的轨迹W是以点1C、2C为焦点的椭圆.…………………………2分设椭圆的标准方程为22221xyab0ab，则222a，22c，2221bac，故椭圆的标准方程为2212xy…………………………………………………………2分（2）直线l的方程为13ykx，联立直线和椭圆的方程得221132ykxxy，即2291212160kxkx，易知点10,3S在椭圆内部，所以直线l与椭圆必交于两点.…1分设1122,,,AxyBxy，则121222416,312912kxxxxkk，……………………2分假设在y轴上存在定点0,Dm满足题设，则1122,,,DAxymDBxym.因为以AB为直径的圆恒过点D，则1122,,0DBxyDAmxym.……………………2分即12120*xxymym，因为112211,33ykxykx，所以(*)变为12122121212121221213111333xxymymxxyymyymkxmkxkxxxkxm2121222222189121133186199521mkmkxxkxmmxmmk.………3分由假设得对于任意的kR，0DADB恒成立，即221818096150mmm，解得1m.因此，在y轴上存在点D，点D的坐标为0,1………………………………………………3分17、（1）①不是……………………………………………………………………2分②221331244fxxxx，即fx的值域为3,4，7当tR时，21332244tfgt，即yfgt的值域仍为3,4，所以xgt是fx的一个等值域变换.………………………………………………2分（2）不必要性的反例：2,,0,xxDBfR1121,,1,tgtDBR此时1BD，但221tfgt的值域仍为0,B，即21tgtxR是2fxxxR的一个等值域变换.（反例不唯一）………………3分（3）2logfxx定义域为2,8，因为xgt是fx的一个等值域变换，且函数fgt的定义域为R，所以22,13tmtxgtttnR的值域为2,8，……………………2分22222328213811mttntmttntt，……………………………………1分所以，恒有12289422094880mmnmn，………………………………………………3分解得33523352mn.……………………………………………………………………3分18、（1）22221111111122222nnnnnnnnaxyxyxya数列na是等比数列………………………………………………3