第6单元第33讲 等比数列的概念及基本运算

231.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.42,41.(2010)abcb已知，，，成等比数列，则实数等于邢台模拟()A22.22C2D8B．．．A解析222,4242022.abcbacabbb因为，，，成等比数列所以，，所以，所以51311282.(2010)8naaaaaa在等比数列中，已知，那么黄冈模拟()解析A.16B.12C.6D.4D312413111128188q82q4.aaaaaqaaa由得，即，故63.若数列{an}成等比数列,则“a2010·a2012=16”是“a2011=4”的（）BA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件由a2010·a2012=16,则a2011=±4，充分性不满足;由a2011=4，则a2010·a2012=a20112=16.解析74.（2010·江苏溧水模拟）等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，S3=3a3，则公式q=.-或112当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.当q≠1时,=3a1q2,解得q=-或1(舍去).所以q=-或1.1231(1)1aqq12解析1285.2009年，某内河可供船只航行的河段长为1000km，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从2010年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2018年，该内河可行驶的河段长度为km.231000×92()39设an表示第n年船只可行驶河段长度(2009为第一年），则an=an-1，a1=1000，所以an=1000×()n-1，a10=1000×()9.232323解析10等比数列(1)等比数列定义①.(n∈N*),这是证明一个数列是等比数列的依据，也可由an·an+2=an+12来判断.(2)等比数列的通项公式为②.(3)对于G是a、b的等比中项,则G2＝ab,G=③.=q(非零常数)1nnaaan=a1·qn-1±ab11(4)特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q≠１两类.当q=1时,Sn=④;当q≠１时,Sn=⑤.na1或1(1)1naqq11nnaaqSq12题型一等比数列的基本运算例13242023nnaaaaa已知为等比数列，，，求的通项公式．解析324312022022313.3naqqaaaaqqqqqqq设等比数列的公比为，则，，，所以，解得，1313313311111818()23.3322332399.2323nnnnnnnnnnqaaqaaaa①当时，；所以②当时，，所以，综上或所述，评析1111211nnnnnaqaaaqSq等比数列中，，中有五个量，可以知三求二；注意分类讨论的应用．14素材11324(2010).22nnnaaaaaanS已知等比数列中，，是和的等差中项，求数列的杭州模拟通项公式及前项和解析32321142.222202102.2222122212.nnnnnnnaqaaaqqqqqqaS设数列的公比为由题意知，，所以，即，所以，即15（2010·都昌模拟）已知数列{an}满an+n(n为奇数）an-2n(n为偶数).(1)求a2,a3,a4,a5；(2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列；(3)在(2)的条件下，求数列{an}的前100项中所有偶数项的和.12足:a1=1，an+1=题型二等比数列的判定及证明例216(1)因为a1=1,当n=1∈{奇数},a2=a1+1=;当n=2∈{偶数}，a3=a2-2×2=-;同理，a4=，a5=-.12325274254解析17(2)证明：因为bn=a2n-2，所以=====.又b1=a2-2=-，所以数列{bn}是以b1=-为首项,公比为的等比数列.1nnbb22222nnaa212121222nnana221(4)2122nnanna221122nnaa1212121218(3)由(2)得bn=(-)()n-1=-()n=a2n-2,所以a2n=2-()n,所以S=a2+a4+…+a100=(2-)+[2-()2]+…+[2-()50]=2×50-=99+.121212121212125011(1)22112501219本题是以分段形式给出的数列通项，特别要根据n的奇偶选递推式，而不是an+1的下标的奇偶.同时判定等比数列的常用方法有两种：第一种定义法，即证=q(q是非零常数）；另一种是等比中项法，即证an2=an-1·an+1.当已知通项公式或把递推公式看作一整体时，常用定义法.1nnaa评析20素材2*1111221(){}4.nnnnnnnanSnaaSnnSnSaN等比数列的前项和记为，已知，．证明：数列是等比数列；证明111222111nnnnnnnnaSnnSSSnnSnS因为，所以，所以方法：，2111111111221{}122111121222211{}nnnnnnnnnnnnnnnnSSSnSnnnSSanSnnSSnSnSannSnSnSnSnnnnnnnSn所以，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．因为方法所以数列：是等比数列．221111121211122212.11121111121244.24nnnnnnnnnnnnnnnSSnSnSnnnaSnnnnnSSa由得，所以，所以又，所以评析2111(21)2nnnnnaaaana利用定义：利证明等比数列的两个基本方法：为一常数比；用等中项：．23等比数列{an}的首项为a1=2010，公比q=-.（1）设bn表示数列{an}的前n项的积，求bn的表达式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列{bn}有最大项？12题型三等比数列的最值例324(1)因为an=2010×(-)n-1,所以bn=a1·a2·…·an=2010n×(-)0+1+2+…+(n-1)=2010n×.(1)求出{an}的通项公式，再由bn=a1·a2·…·an得表达式.(2)先判断bn的符号，再由|bn|的单调性，进一步探求.12(1)21()2nn12分析解析25(2)因为=,所以，当n≤10时，=1，所以|b11||b10|…|b1|；当n≥11时，=1,所以|b11||b12|…,又因为b110，b100，b90，b120，所以bn的最大值是b9和b12中的最大者.因为==20103×()30=[2010×()10]31.所以当n=12时,{bn}有最大项为b12=201012×(-)66.1||||nnbb20102n1||||nnbb20102n1||||nnbb20102n129bb126693612010()212010()212121226等比数列的通项公式类同于指数函数，根据公比q与首项a1的正负、大小有不同的单调性:a10a10q10q1时为单调增数列；a10a10q10q1为单调减数列；当q0时为摆动数列，应分类讨论其项的符号与绝对值.或当当或评析27素材32*11212()211{2}2nnnnnfxaaaafanaN求的表达式；定义数列，，，数列是等比证明：数列．28分析22111223212nnnnxyabnSa化弦为切，再用表示即可；只需证明为常数即可；利用求出的前项和，再代入不等式可得．解析29221.xfxx即2212222221212nnnnnnnnaaaafaaaa因为，3022122,11{2}22nnaa而所以数列是以为首项，为公比的等比数列．212111122224(1)121212131114(1)5.2823231.638nnnnnnbSnnaSnnnnS由得，所以．令，得，所以则使最小的值为成立31本题考察了三角函数的恒等变换和数列的基本知识，包括等比数列的概念、通项公式与前n项和公式，还考察了化归的数学思想方法及推理运算能力。评析32备选题备选题（2010·安徽师大附中)设数列{bn}的前n项和为Sn，bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)若cn=an·bn(n=1,2,3,…)，Tn为数列{cn}的前n项和，求证：Tn.7233(1)由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1,又S1=b1，所b1=,当n≥2时，由bn-1=2-2Sn-1，可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn，即=.所以{bn}是以b1=为首项，为公比的等比数列，于是bn=2·.2313231313n1nnbb解析34(2)数列{an}为等差数列，公差d=(a7-a5)=3，可得an=3n-1.从而cn=an·bn=2(3n-1)·.所以Tn=2[2·+5·+8·+…+(3n-1)·],所以Tn=2[2·+5·+…+(3n-4)·+(3n-1)·],所以Tn=2[3·+3·+3·+…+3·--(3n-1)·],从而Tn=-·-.1213n1321331313n1321331313n113n231321331313n13113n727213n72113n351.方程思想的应用.在等比数列的五个基本量a1,an,q,n,Sn中，“知三求二”，一般是运用通项公式和前n项和公式列方程，通过解方程求解.2.等比数列的判定常用定义法和等比中项法；而证明不是等比数列时，只需举反例（常从前几项入手）.36218在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为错解152341352315332343218218366216.naaaaaaaaaaaaaaaaa设这个等比数列为，其中，，插入的三项分别为，，，由题意，得，，也成等比数列，则，故，所以37错解分析3a错解没有正确判断的符号，在求等比数列各项时，要注意正负号的选择．正解152341352315322313332343218.366.220666.1naaaaaaaaaaaaaqaaqqaaaaaa设这个等比数列为，其中，，插入的三项分别为，，由题意，得，，也成等比数列．则，所以设等比数列的公比为，则，所以舍去，故，所以