5-4 频域：奈氏 判据12

15.3频域中的稳定性判据（Nyquist稳定性判据）25.3.1引言基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。系统的开环传递函数则闭环系统的特征式的多项式是和ssQsPsQsPsHsG)()()()()()(njjniirpszsKsQsPsQsHsGsF11)()()()()()()(1)(35.3.1引言系统的开环传递函数则闭环系统的特征式(1)F(s)是n阶有理分式,且零点数和极点数相同;(2)F(s)的零点就是闭环系统的极点;(3)F(s)的极点就是系统开环极点.)()()()(sQsPsHsG)()()()()(1)(sQsPsQsHsGsF45.3.2幅角原理1.映射复数ss平面s=σ+jω.F(s)F(s)复平面F(s)=u+jv.在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si，经过复变函数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点F(si)。所以复变函数F(s)就是从s平面到F(s)平面的映射，这种映射是一一对应的.例如函数若si=2,则F(s)=4/3;若si=-j,则F(s)=1-j12)(sssF5在s平面上取一闭合路径Γs,它不经过F(s)的零点和极点,F(s)在Γs内零点数为Z,极点数为P,s按顺时针方向沿Γs绕一圈，则在F(s)平面上与之对应的闭合回路ΓF按顺时针方向围绕原点的圈数为:N=Z-P若N＞0,即Z＞P,则ΓF与Γs移动方向一致;若N=0,即Z=P,则ΓF不包围原点;若N＜0,即Z＜P,则ΓF与Γs移动方向相反.2.幅角原理—柯西定理6证明:式中所有零点幅角之和为niiniisFzs11)()(所有极点幅角之和为njjnjisFps11)()(][)()()()()()(1111njjniinjjniirsFsFsFpszsKsF78当s沿Γs绕行时,将随之变化.1)若F(s)的零点或极点在Γs之外,s沿Γs绕行一圈时,相角变化皆为0.2)若F(s)的零点(如–Z1)在Γs之内,s沿Γs绕行一圈时,相角变化为-2π.3)若F(s)的极点在Γs之内时,s沿Γs绕行一圈时,相角变化为2π.结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γs顺时针方向旋转一圈时，F(s)相角的变化：F(s)相角变化-2π相当于ΓF顺时针包围F(s)平面原点一圈,所以上式可写为N=Z-P.)(2)(PZsF)()(iipszs和9若F(s)=1+G(s)H(s)-------系统特征方程闭合路径Γs取--------S右半平面（奈氏路径）闭环系统稳定的充分必要条件是什么?（Z＝0即：N=-P）负号表示沿逆时针方向包围F(s)平面原点N圈若P=0,系统稳定的充分必要条件是N=0+_()Rs()Cs()Hs()Bs()Es()GsG(s)H(s)1G(s)R(s)C(s)105.3.3奈魁斯特稳定判据1．奈氏路径顺时针方向包围整个s右半面。当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。jj1j1j()Fs的极点Rj0j0js平面jjjjjs00112.奈氏判据设：——闭环系统特征多项式显然：F(s)的零点就是闭环系统的极点。(1)1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线ΓF顺时针方向绕原点的圈数N则为F(s)在s右半平面内零点个数Z与极点个数P之差：N=Z-P当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。sHsGsF112（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据因1+G(s)H(s)与G(s)H(s)相差1，则系统稳定性可表述为：闭环系统稳定的充要条件是：s沿奈氏路径绕一圈，G(s)H(s)曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈。即:N=-P（Z＝0）P—G(s)H(s)位于s右半平面的极点数a.若P=0，且N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系统稳定；(最小相位系统P=0)13闭环系统稳定的充要条件是：s沿奈氏路径绕一圈，G(s)H(s)曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈。即:N=-P（Z＝0）b.若P≠0，且N=-P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭环系统稳定，否则是不稳定系统。不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取：Z=PNc.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点分布在s平面的虚轴上。14例:一系统开环传递函数为：试判别系统的稳定性。解：本系统的开环频率特性当变化，画出系统的奈氏曲线。一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即N=-1。根据奈氏判据,闭环系统在s右半平面极点数Z=P+N=1-1=0,所以系统稳定。12)()(ssHsG12)()(jjHjGjjjj00210ReIm153.s平面原点有F（S）极点时的奈氏路径s=-j0→+j0时，以原点为圆心，作半径为ε无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过原点。令,ε→0当s从-j0→+j0时，θ从-90°→+90°00j0jImRejesθjjθn1jjθjjθm1ijθiese)e(K1)e(T)(1)e(τKG(s)H(s)jθe16结论:当s从-j0→+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过。180所以，从变到。)()(jHjG90)90(17s→∞的奈氏曲线令:因为R→∞，则有对n-m＞0的系统，ε就趋向于零。从–(n–m)90°变到+(n–m)90°。jsRem)θ-j(nn1jjθjm1iiθj1ese)p(Re)(ReKG(s)H(s)θjzR)()(jHjG结论:当s沿奈氏路径从+j∞到-j∞时，对nm的系统，G(s)H(s)的奈氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（n-m）π。184.奈氏判据应用举例例5-9判断闭环系统的稳定性：解：1型二阶系统，v=1,先作+j0→+j∞时的奈氏曲线。再根据对称性，作出-j0→-j∞时的奈氏曲线。s从-j0→+j0时补180°顺时针半径无穷大的虚圆弧.奈氏曲线不包围(-1,j0)点,即N=0,而P=0,故系统稳定.0)a()()()(assKsHsGr)()()(ajjKjHjGr1800|)()(90|)()(0jHjGjHjG19例5-10试判断闭环系统的稳定性：解：1型二阶系统，v=1,先作+j0到+j∞时的奈氏曲线。再根据对称性，作出-j0到-j∞时的奈氏曲线。s从-j0→+j0时补180°顺时针半径无穷大的虚圆弧.奈氏曲线包围(-1,j0)点,即N=1,而P=0,故系统不稳定.0)K()1()1()()(sssKsHsG)1()1()()(jjjKjHjG900|)()(270|)()(0jHjGjHjGImRe2K101001K20例5-11:分析如下系统的稳定性。开环传递函数解：是最小相位系统,曲线于实轴交点,K取值不同时,奈氏曲线不同。(a):曲线不包围（-1，j0）点，系统稳定。(b):曲线通过（-1，j0）点，系统临界稳定。(c):曲线包围（-1，j0）点，系统不稳定。sT1sT1KSHSG21s)0,TTTKT(21212121TT/TTK2121TT/)TT(K2121TT/TTK215.判断N的简易方法（1）正、负穿越的概念G(jω)H(jω)奈氏曲线对称实轴。应用中只画部分。所谓“穿越”是指轨迹穿过段。正穿越：从下而上穿过该段一次（相角减少），用N+表示。负穿越：由上而下穿过该段一次（相角增加），用N-表示。正穿越负穿越0),1(ImRe0(－1，j0)+ImRe0(－1，j0)_221＝N2＝N(1,0)j0()()GjHjImRe－＋＋23若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。ImRe00_()()GjHj(1,0)jImRe0(1,0)j()()GjHj0＋24如果G(jω)H(jω)按顺时针方向绕(-1,j0)一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方向包围点(-1,j0)一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈数。N=2(N+-N-)注意：这里对应的ω变化范围。025例:已知某系统G(jω)H(jω)轨迹，有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G(jω)H(jω)轨迹在点(-1,j0)以左的负实轴有1次正穿越，2次负穿越，求得：Z=P+N=2-2=0所以系统是稳定系统。221)(2NNN2P26例:已知两系统s=+j0→j∞时的奈氏曲线，分析稳定性。解:(a)N=2(N+-N–)=2(1-0)=2，且P=0，所以Z=P+N=2系统不稳定。(b)K1时，N=2(N+-N-)=2(1/2-1)=-1，且P=1，所以Z=P+N=0，闭环系统稳定；K1时，N=2(N+-N-)=2(1/2-0)=1，且P=1，所以Z=P+N=2，闭环系统不稳定；K=1时，奈氏曲线穿过(-1,j0)点两次，系统临界稳定。（a）P=0(b)P=1ImRe00R0P1PImRe0R0K27例5-12(b)若b1,N=2(N+-N–)=2(2-1)=2，且P=1，所以Z=P+N=3系统不稳定。若b1a,N=2(N+-N–)=2(1-1)=0，且P=1，所以Z=P+N=1系统不稳定。若a1,N=2(N+-N–)=2(1-0)=2，且P=1，所以Z=P+N=3系统不稳定。285.3.4伯德图的奈氏判据伯德图若用于最小相位系统,奈氏曲线不包围(-1,j0)点意味着φ(ω)=-180°时,|G(jω)H(jω)|1.最小相位系统的幅值和相角都随ω的增加而减小,所以,|G(jω)H(jω)|=1(即L(ω)=0dB)时,φ(ω)-180°伯德图的奈氏判据:系统稳定的充分必要条件是,剪切角频率ωc处的相角φ(ωc)-180°.2930例5-13：用伯德图判别系统的稳定性.-1,-2,-4分别表示L(ω)的斜率-20dB/dec,-40dB/dec,-60dB/dec,K=100时,系统稳定。K=143时,系统临界稳定.K143时,系统不稳定.