大学物理(华中科技版)第5章习题解答

第五章机械振动习题解答5-1.从运动学看什么是简谐振动？从动力学看什么是简谐振动？一个物体受到使它返回平衡位置的力，它是否一定作简谐振动？答：从运动学观点来看，物体在平衡位置做往复运动，运动变量（位移、角位移等）随时间t的变化规律可以用一个正（余）弦函数来表示，则该物体的运动就是简谐振动；从动力学来看，如果物体受到的合外力（矩）与位移（角位移）的大小成正比，而且方向相反，则该物体的运动就是简谐振动。由简谐振动的定义可看出，不一定作简谐振动。5-2.若物体的坐标x，速度和时间t分别具有下列关系，试判断哪些情况下物体的运动是简谐振动？并确定它的周期。（1）2sinxABt；（2）2ABx（3）5sin()2xt；（4）cosAtxet（各式中A、B均为常数）。答：只要物体的运动状态方程满足cos()xAt或者sin()xAt，或者满足2220dxxdt的形式，则均为简谐振动。由此可判定出：（1）是简谐振动，振动周期TB；（2）是简谐振动，因为满足2220dxxdt的判椐。振动周期22TB；（3）是简谐振动，振动周期2Ts；（4）不是简谐振动。5-3刚度系数分别为k1和k2的两根轻质弹簧，与质量为m的滑块相连，水平面光滑，如图5-3所示。试证明其为简谐振动，并求出振动周期。解：建立坐标并对物体m进行受力分析。设初时物体处于坐标原点O的右侧x处，初速度v0，物体受左右弹簧力的合力为12()Fkkx，大小与x成正比，方向与位移方向相反，满足简谐振动的动力学规律，故是简谐振动。由牛顿第二定律可得：2212122()()0kkkkdxxmdtm，即习题5-3图2122()0kkdxxdtm，由此知园频率212()kkm，周期为122mTkk5-4质量为31.010kg的小球与轻弹簧组成的系统，按3510cos(8)()3xtm的规律振动，式中t单位为s。试求：（1）动的振幅、周期，初位相、速度及加速度的最大值。（2）求t=2s、10s时刻的位相及系统的机械能。解：写出简谐振动的位移状态方程的标准形式：cos()xAt，将其与题中状态方程对照可得：(1)振幅A=3510m，周期T=0.25s，初位相φ0=π/3，任意时刻速0/sin()dxdtAt得最大速度111.310()mAms；(2)任意时刻加速度：20/cos()addtAt，得最大加速度223.2()maAms；5-5一弹簧振子，弹簧的刚度系数k=9.8N/m，物体的质量为m=200g，现将弹簧自平衡位置拉长22cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为7.0cm/s，求该振子的运动学方程（SI制）。解：要求出运动学方程cos()xAt，只要得出A，及即可。/km=7rad/s，当t=0时，解方程00cos()sin()xAA得A=0.03m，0.3，振子的运动学方程：2310cos(70.3)xt5-6画出某简谐振动的位移—时间曲线，其运动规律为2cos2(0.25)xt（SI制）。提示：振幅A=2m，周期T=1s，t=0时，初位置x0=0。位移—时间曲线如下5-7（1）一简谐振动的运动规律为5cos(8)4xt，若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？（2）一简谐振动的运动学方程为8sin(3)xt，若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调节计时起点？提示：（1）5cos(84)4xt，计时起点提前32s；（2）332，计时起点推迟2s。5-8图为两个简谐振动的x—t曲线，试分别写出其简谐振动方程。(a)(b)习题5—8图解：本题有两种常见思路。思路一：设简谐振动方程为cos()xAt由图（a）知振幅A=10cm，周期T=2s，园频率=π(rad/s)，由初始条件t=0时，位移和速度可表示为：00cos()0sin()xAA得=/2或=/2，但此时00，故=/2，简谐振动方程可写为：0.1cos(/2)xtm仿图(a)中解，图(b)可得t=0时，00cos()5sin()0xAA，=/3；t=1s时，0cos()0xA，=5/60.1cos(5/65/3)xtm，或0.1cos(5/6/3)xtm思路二：旋转矢量法以图(b)为例，如右图所示t=0时，对应旋转矢量在1或2的位置，但由速度方向可判定，位置2是旋转矢量的初始位置，可求得初相位=/3，从t=0s到t=1s旋转矢量转过的角度△=5/6，故=5/6，从而可简单地得到振动方程为0.1cos(5/65/3)xtm5-9天花板以0.9m长的轻绳悬挂一个质量为0.9kg的小球。最初小球静止，后另有一质量为0.1kg的小球沿水平方向以1.0m/s的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。t(s)t(s)x(cm)x(cm)解：如图5-9所示，以两小球为研究对象，在碰撞过程中，时间较短，可认为角动量守恒。打击前只有质量为0.1kg的小球有角动量，即系统角动量：J0=mrv0=0.1×0.9×1=0.09(kgm2/s)打击后瞬间两小球以共同的速度前进，此时系统角动量:J=(m+M)rv=1×0.9×v由系统角动量守恒得：J0=J,得共同速度v=0.1(m/s)在随后过程中（将它们当作质点），可认为机械能守恒，算得上升的最大高度：(m+M)gh=(m+M)v2/2，h=5×10-4m,习题图5-9由此判定（m+M）的张角小于5°，可将它们视为单摆，其运动学方程可设为：cos()xAt,t=0时，振幅/lg=0.03m，00cos()0sin()0xAA，/lg得运动学方程：0.03cos(3.3)2xt5-10把一单摆的摆球拉开一个很小的张角θ，如习题图5-9所示。将此时刻作为计时起点，然后放开任其摆动，问此张角θ是否就是初位相？小球绕悬点转动的角速度是否就是圆频率？答：此张角θ不是初位相，初位相是t=0时，由00cos()0sin()xAA得出，由小球绕悬点转动的角速度也不是圆频率，园频率由/lg决定。5-11一质点同时参与两个同一直线上的简谐振动，振动方程如下（SI制）30.05cos(10)5xt10.06cos(10)5xt求它们合振动的振幅、初位相及振动方程。解：由题知，A1=0.05，103/5；A2=0.06，20/5。合振动振幅22121210202cos()AAAAA=28.9210（m），初位相1102200110220sinsintancoscosAAAA,得'06813，合振动方程2'8.9210cos(106813)xt（m）。5-12有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差/6，若第一振动的振幅为0.173m，求第二振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。解：由题知A=0.05，A1=0.06，010/6，由合振幅22121210202cos()AAAAA，及由位相差1102200110220sinsintancoscosAAAA得A2=0.10m，第一、第二两振动的位相差/2。※5-13如图5—14所示，两个相互垂直的简谐振动的合振动图形为一椭圆，已知x方向的振动方程为6cos(2)xtcm，求y方向的振动方程。解：由图可知两简谐振动的合成为椭圆,满足一般椭圆方程222201020102212122cos()sin()xyxyAAAA已知A1=6cm，10=0，由图可知：习题图5—14x=1,y=0；x=0,y=2,将它们代入椭圆方程即可解得y方向的振动方程为：12cos(2)2ytcm。