随机变量及其概率分布全概率

)/()()()()()/()2(ABPAPABPAPABPABP条件概率方法：)/()/()/()()()3(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP限个事件的情形乘法公式容易推广到有全概都用了责任推断贝叶斯，乘法步骤要全了，全概两步要走好，第一变成条件了。串并系统要可靠，拆桥独立莫忘了。积概率等概率积，对立区间次数求和了。次对立算，至少次了，项次独立实验好，二项通1kn也独立BABABA,第十六讲内容总结件且两两互斥包含了第一步的全部事一般情况下，全概率公式：nnnBBBBAPBPBAPBPBAPBPAP212211/)(/)(/)()()4()()()(1)()()()()(,,,)5(2121212121nnnnnAPAPAPAAAPAPAPAPAAAPAAA独立，则独立事件公式：若事件次的概率为：恰发生次试验中事件，则在为发生的概率次试验事件次独立试验序列中，每在伯努利概型mAnppAn)10()6(pqqpCmPmnmmnn1)(其中nmmnmmnqpCqp01,1第十六讲内容总结例题1)/(,85.0)/(,93.0)(,92.0)(BAPABPBPAP试求已知;)(1)()()()()/(),()()(BPABPAPBPBAPBAPBAPABPAP分析：862.0)(),(93.008.085.0)(1)()()()()/(85.0)()()(ABPABPAPABPBPAPABPABPABPBAPBP由已知解：;988.093.01862.092.0)(1)()()()()/(),()()(＝又BPABPAPBPBAPBAPBAPABPAP第十六讲内容总结例题2的概率。发生不发生的概率相等，求发生且不发生的概率与发生，都不发生的概率为与独立，与设事件AABBABABA91)()(21)()()()(1)()()(1)(1)()(912___________APAPBPAPBPAPABPBPAPBAPBAPBAP由)()()()()()()()(),()(BPABPBAPBAPABPBAPABPAPBAPBAP＝解.32)(,1)(0,0]2)(3][4)(3[APAPAPAP第十六讲内容总结二、随机变量及其概率分布述几点：同时，还需重点掌握下质，分布与密度的定义和性性质，连续型随机变量义、散变量的概率函数的定首先需要理解并记住离babaIiiIiipxXPbxaP,,)()(1：）离散变量的区间概率（了，泊松近似伯努里，正数了；比率变二项近似超几何，次品通项记牢了；几何二项泊松好，级数，非负求和规范了；概括：离散概率函数好npp第十六讲内容总结密度与区间概率：）连续变量的分布函数（3122121xFxFdxxfxXxPxx相减概率了。概率累加得函数，反向各点左闭区间了；，若求离散分布函了；右左外随机变量有区间，间，非负规范单调了；概括：连续分布函数好10密度变零了。随机变量有区间，间外，非负积分规范了，概括：密度单位区间概第十六讲内容总结看下面例题：.1258)3(,12536)2(,12554)53()52()1(,12527)53()52()0(21133003XPXPCXPCXPxxiixPxXPxF)()()(),3[),3,2[),2,1[),1,0[),0,(分别求函数值中分布函数则要求在.3,1,32,125117,21,12581,10,12527,0,0)(xxxxxxF：求例子：若概率函数为：)(.3,2,1,0,)53()52(}{33xFkCkXPkkk第十六讲内容总结例题的概率分布列。试求的分布函数为：设随机变量XxxxxxFX31318.0114.010)(来求的离散分布，应用断点为解：这是一个有断点（)0()()()3,1,1iiiaFaFaXP2.08.01)03()3()3(4.04.08.0)01()1()1(4.0)01()1()1(－FFXPFFXPFFXPxp2.04.04.0311第十六讲内容总结积分伽马了。系数要正指数负，幂指正好两半了；指数分布正参数，区间分母密度了；均匀分布度量好，放到关系搞清了。概率分布和密度，三者概括：.)()()(})({}{)()()()(4)(dyydFyfdxxfyXgPyYPyFyFYxFxfXYYyxgXYYXX再求，，分布函数的求出或分布函数的概率密度即先通过法，基本的方法是分布函数求变量的函数分布的最）（第十六讲内容总结未知转成已知了。连续区间要选好，离散对应和算了；变量函数求分布，概括一下：都在全无穷区间上）与的开区间（注意区间确定区间，由定区间：即求YXYXY)1(的分布。的分布求出再利用已知的的区间概率或密度积分视为定点转化成区间将的分布。通过区间概率的分布转化成变分布：将YXXyXY)2(对应的区间。或配断点：将断点分配到的密度；的分布导数得求对求导数10)4(:)3(yYy的密度的一般方法求的密度已知)()(XgYxfXX第十六讲内容总结例题（95研6分）密度分布函数的导数求概率的分布函数，然后利用分析：先求的概率密度。求随机变量的概率密度设随机变量YeYxxexfXXxX.00,0)(.1,1,1,0.0,0yyyYYeyxxx的变量区间定义区间为的则分段区间解：由概率密度函数的）原则，只有左，值为右（或按照定义区间外左时：010.00)0ln()()()(1lnyXYdtyXPyePyYPyFy)(0)0()()(0不可能事件时：yePyYPyFyXY第十六讲内容总结1,0,1,1)()(2yyyyFyfYY1,0,1,11)(yyyyFY.110)()()ln()()()(,0ln1ln0ln00yedtedtdttfzXPyXPyePyYPyFyxyyyttzXXY即：时，第十六讲内容总结)(),(6yYxXPyYxXP）联合分布实际意义：（1),()(),,()(,),(),()()7(jjiiXXXyxPxPxFxFdyyxfxxFxf合密度。例如：下（或无穷条件）的联件）是另一变量在完备条边缘密度（概率、分布第十六讲内容总结第十六讲内容总结二维事件积来算，这个边缘那必然；分布函数四等式，单调非负还规范；二阶偏导密度函，概率区域积分办；样本里面区域圈，一个定来一个变；另一变量积边缘，跟着样本上下限。联合等于边缘积，独立计算更方便。例题（03数学一，4分）)1(,010,6),(YXPyxxyxf求其它密度为设二维随机变量的概率图示直角三角形内得解：由,0,10:,10yxxGyx图中阴影部分。内的得即：再由xyxxDGXYYX1,210:,1,1OYX121xyxy11),()1(yxdxdyyxfYXP.41)21(662102101dxxxxdydxxx第十六讲内容总结dzzdFzfdxdyyxfzYXgPzZPzFyxfZZzyxgZ)()(),(}),({)()(),(8),(且，先求分布再导数分布的求法，也是通过）两个随机变量函数的（量上下限。定样本定区间，积分变另一变；代联密无穷积和函，一个密度二维变量函数的分布与zz第十六讲内容总结例题（07数学一，11分）的概率密度求）求（其它的概率密度为已知YXZYXPyxyxyxfYX)()(,,,),(),(221010102DdxdyyxfDYXP),(]),[()1(根据联合分布的定义解：10,20210,10),(xxyyxyxDyxf组成（如图）。即：，由：非零的区域由已知，被积函数xGy0D11第十六讲内容总结24785221021020dxxxdyyxdxdxdyyxfYXPxG)()(),(][的积分变限。的定区间和上求并在平面上确定由此在，区域为的（即非零的非零积分区域：由已知，即解该题要用卷积分公式xzGGZXxzxxZXyxfxzyxyxfdxxzxfzfYXZZ,),(.110),),(;10,10),(),()(,)2(G1xzxz0xz112第十六讲内容总结20000222110zzdxzdxxzxdxxzxfdxyxfzfzxzzzzzZ)()(),(),()(:即：时，2111111112221121)()()(),(),()(:zdxzdxxzxdxxzxfdxyxfzfxzzzzzzZ即：时，其它即：,)()(021210222zzzzzzfZ.21,10:zzZ第十六讲内容总结值。；独立可加减，方差均二维不相关，等效独立；标准积分时，关注偶奇；均分，标准求正态P6.尤其是：正态分布要关注和其它分布的不同点，除分布函数与密度函数的形式不同以外，它区别于其它分布的几个重点如下：三、常用分布：1.几何分布的意义与形式需要记住0,00,1)(;0,00,)()(5xxexFxxexfexx：指数分布.ekekkXPkkk0!,2,1,0,!}{.3。且：泊松分布求？二维情况下，密度如何其它均匀分布：.,0;,1.4bxaabxf,)(.2xnxxnqpCxp二项分布：,,2,1,0nx第十六讲内容总结第十六讲内容总结xiiixxPxPxXE)()()(.11：均值计算公式，定义法dxxxfxxfxxPxXEXiiiiiii)()()()(11连续，若dxxfxgxPxgXgEYEXgYx)()()()()]([)()(时，一般方法：dxdyyxfyxgyxPyxgYXgEYXgZijjiji),(),(),(),(),(),(时，四、数字特征及其计算：几何级数导概率。二泊松，必然求和是均值；概括：离散变量乘概率,np第十六讲内容总结)()()]([)(:212iiixpXExXgEXDX.方差：离散dxxfXExXgEXDX)()()]([)(:2连续变量。提方，独立加减都加上线性运算：常数为零系，指数系数分之一。加均匀一半，求和变成样本积；概括：连续概率换密度ba可减独立积。常数不变系数提，可加出现伽马积。函数期望代变量，幂指dxxfxXkkkk)(3阶中心距：阶原点矩与.kkXEXEX)()(第十六讲内容总结等价要牢记。系数为零不相关，三个相关正负一；标准以后相关系，线性积期望减期望积；离差积，协方差底同一补齐；原点矩算中心距，阶降E311233234121213443642122中间组合数系数末了阶凑；阶正负降，不够,11rr.0),cov(YXYX独立，则、若))()(,)()(cov(),cov(),(**YYEYXXEXYX