应用数理统计复习题

1《应用数理统计》复习题第一章概率知识一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5.现从中任取3个，以X表示所取球的号码的最大值，求X的概率分布律.解：X的可能取值为3、4、5，1.0101}3{3533CCXP，3.0103}4{352311CCCXP，6.0106}5{352411CCCXP，故X的概率分布律为6.03.01.0543kpX.二、设连续型随机变量X的密度函数为.,0,10,)(其它xAxxf（1）求常数A；（2）求X的分布函数)(xF.解：（1）由完备性：1)(dxxf，有110Ax,解得2A.（2）tdtfxFx)()(当0x时，0)(}{)(xdttfxXPxF，当10x时，202)()(xtdtdttfxFxx，当1x时，1)(xF.所以.1,10,0,1,,0)(2xxxxxF三、设X的概率密度为其它,022,cos)(xxCxf，1、求常数C；2、均值EX和方差DX.解：1、由完备性，，21C；2、0cos21)(22xdxxdxxxfEX；222202222214coscos21)(xdxxxdxxdxxfxEX;14)(222EXEXDX.四、若随机(X,Y)在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X,Y不相互独立.解：依题意有(X,Y)的概率密度为221/,1;(,)0,xyfxy其它..故22121211,11,11()(,)0,0,xxXxxdyxfxfxydy其它其它;同理221,11()0,Yyyfy其它.于是(,)()()XYfxyfxfy,X与Y不相互独立.五、设X的概率密度为.,0,10,)(其它xbxaxf，且已知EX=127求DX.解：由概率密度的完备性有：1=10d)(d)(xbxaxxf=ba5.0,且有127=EX=10d)(d)(xbxaxxxxf=32ba,联立上述两式解得:1,5.0ba又)(2XE125d)5.0(102xxx,于是DX22)()(EXXE2)127(12514411.六、1．设随机变0量)3,2(~2NX，)()(CXPCXP，则C（A）.A.2B.3C.9D.02.设随机变量),(~2NX，则随增大，}|{|XP(C).(A)单调增大；(B)单调减小；(C)保持不变；(D)增减不定3第二章统计概念1.设nXXX,,,21为来自正态总体),(~2NX的一个简单随机样本,则样本均值niiXnX11服从),(2nN分布.2.设1021,,,XXX是来自总体)3.0,0(2N的一个样本，2102221XXXY,当C=9100时，CY服从自由度为10的2分布.3.设总体),(~2NX,nXXX,,,21是取自总体的样本,则niiX122~)(1)(2n．第三章参数估计一、设nXXX,,,21是取自总体X的一个样本，总体X的概率密度函数为其他,010,)(1xxxf，其中0为未知参数.试求的矩估计量M和极大似然估计量L.解：1d110xxxEX.用X代替EX，令1X，解得的矩估计量21XXM.设nxxx,,,21是取自总体X的样本观察值，似然函数为其他,0,,2,1,10,)(11nixxLiniin0)(L时，取对数，可得niixnL1ln)1(ln2ln.niixnL1ln2112dlnd.4令0dlndL，可得的极大似然估计量L21lnniiXn.二、设总体X服从泊松分布,2,1,0,!}{),(kekkXPk样本nXXX,,,21，证明未知参数的矩估计量和极大似然估计量相同.解：总体X服从参数为的泊松分布，则,,2,1,0,!}{kekkXPk01!kkekkEXm.用样本一阶原点矩1A代替总体均值1m，得的矩估计量为XXnAnii111ˆ.设nxxx,,,21为相应于样本nXXX,,,21的观察值，则似然函数exLniixi1!)(，对数似然函数nxxLniniii11)!ln(ln)(ln，令0lndLd，即01nxnii，得的极大似然估计值niixxn11ˆ，所求的极大似然估计量Xˆ.可见，未知参数的矩估计量和极大似然估计量相同，均为X.三、设总体X的分布函数为,1,0,1,11),(xxxxF其中未知参数nXXX,,,,121为来自总体X的简单随机样本，求的矩估计量和极大似然估计量.解：（1）X的密度函数,1,0,1,),(1xxxxf总体均值111dxxxEX，令XEX，得的矩估计量为____1ˆXX.5（2）当),,2,1(1nixi时，似然函数为：,)(),()(1211nnniixxxxfL令0ln)(ln1niixndLd，得的极大似然估计量为niiXn1lnˆ四、1．设321,,XXX为取自正态总体),(2N的一个简单随机样本，则在总体均值的4个无偏估计,525152ˆ3211XXX,313131ˆ3212XXX3213213161ˆXXX,3214319291ˆXXX中最有效的是2ˆ.2.设总体X的期望和方差02存在，从总体中分别抽取容量为1n和2n的两个独立样本，样本均值分别为1X和2X，常数a和b使得21XbXaT是的无偏估计量，且方差DT达到最小，则a211nnn.五、某种零件的重量（单位：千克）服从正态分布),(2N，从中抽得容量为16的样本，其均值,856.4x修正方差04.02s.（1）若,24.0求的置信度为95.0的置信区间.（2）若未知，求的置信度为95.0的置信区间.（已知131.2)15(,96.1975.0975.0tu）解：131.2)15(,96.1,025.02,05.0,16975.0975.0tun（1）974.4,738.4975.0975.0unxunx得的置信度为95.0的置信区间为)974.4,738.4(.（2）963.4)15(,749.4)15(9725.0975.0tnsxtnsx得的置信度为95.0的置信区间为)963.4,749.4(.六、某型号钢丝折断力（单位：牛顿）服从正态分布),(2N，随机抽取10根，其折断力的方差7.752*s，求2置信度为95.0的置信区间.（可能用到的数据：02.19)9(,70.2)9(2975.02025.0，20.48)10(,3.25)10(2975.02025.0）.解：,02.19)9(,70.2)9(,025.02,05.0,102975.02025.0n6333.252)9()1(,858.35)9()1(2975.022025.02snsn，所求置信区间为)333.252,858.35(.七、已知某种药片溶解所需的时间X服从正态分布。现从中随机地抽取10片，测得溶解时间（单位：min）为5.33.65.16.64.96.55.23.75.45.0．求总体方差2的90％置信区间（可能用到的数据：307.18)10(295.0，940.3)10(205.0，919.16)9(295.0，325.3)9(205.0）.解：已知总体),(~2NX，样本容量10n，由样本观测值计算可得13.5x，956.02s.由%901即10.0，919.16)9()1(295.0295.0n，325.3)9()1(205.0205.0n,509.0919.16956.09)1()1(2212nsn,588.2325.3956.09)1()1(222nsn所以药片溶解所需时间的方差2的90％置信区间为)588.2,509.0(第四章假设检验1、假设检验中，0H为原假设，则(A)为犯第一类错误.(A)0H为真，拒绝0H；(B)0H不真，接受0H；(C)0H为真，接受0H；(D)0H不真，拒绝0H2、某种熔丝的熔断时间X服从正态分布,且在通常情况下642.现从这批熔丝中随机抽取10根，测得熔断时间（单位：ms）为：42，65，75，78，71，57，59，54，55，68，问当05.0时，这批熔丝的熔断时间的方差是否仍为64？（可能用到的数据：483.20)10(2975.0，247.3)10(2025.0，023.19)9(2975.0，700.2)9(2025.0）.解：依题意检验假设20212020:,64:HH.)1(~122202nSn,拒绝域为),1()1(,022122nn.这里05.0，10n，023.19)9(2975.0,700.2)9(2025.0,拒绝域为,023.19)700.2,0.计算可得4.62x，82.1212s，13.1782.1216496411022s,023.19)700.2,0，7故接受0H，即认为这批熔丝的熔断时间的方差仍为64.3、已知某一试验，其温度X服从),(2N，现测得5个温度值，计算得1259x，937.11s，问可否认为1277？(取显著性水平05.0)（可能用到的数据776.2)4(597.0t,132.2)4(59.0t）解：检验假设1277:;1277:10HH，采用t检验法，其拒绝域为)4(/12772tnsxt.经计算：372.3t，而776.2)4(372.3597.0t，故拒绝假设，即不能认为1277.4、某种导线，要求其电阻的标准差不得超过005.0.现抽取9根样品，测得007.0s，设电阻X服从),(2N，问在显著性水平05.0下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大.（可能用到的数据507.15)8(95.02，92.16)9(95.02）解：检验假设221220005.0:;005.0:HH.采用2检验法，其拒绝域为)1()1(122022nsn.经计算：68.15)1(2022sn，而507.15)8(95.02，可见)8(95.022，故拒绝0H，即认为这批导线的标准差显著地偏大.第五章回归分析一、测得某种物质在不同温度下吸附另一种物质的重量如下表所示