画法几何制图―换面法[1]

三峡大学1HVABababH换面法一、问题的提出(实物)如何求一般位置直线的实长？变成投影面平行线解决方法：更换投影面V为V1//AB。V1a1b1反映实长ababXVH三峡大学2换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的特殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。三峡大学3VHXABa'b'ab新轴旧轴a1'b1'新投影旧投影被保留的投影X1V1换面法中的主要名称：三峡大学4HVABababH二、新投影面的选择原则1.新投影面必须使空间物体处于最有利的特殊位置。2.为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于某一保留的投影面(如图V1⊥H)，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。平行于新的投影面垂直于新的投影面V1a1b1三峡大学5VHAaaaxX⒈一次换面旧投影体系:X—VH新投影体系:V1HX1—A点的投影：a(V),a(H)，a1(V1)-标注规定.⑴新投影体系的建立三、点的投影变换规律X1V1a’1ax1三峡大学6VHXaaa1VHAaaxXX1V1a1ax1⑵新旧投影之间的关系（黑板）1.a1aX12.a1ax1=aax2.点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。axa点的换面规律（一个垂直，一个相等）1.点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新投影轴。ax1V1HX1三峡大学7XVHaaax更换H面⑶求新投影的作图方法首先确定好新投影轴，由点的保留投影向新投影轴作垂线，并使垂线上的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。X1H1Va1ax1作图规律：.三峡大学8⒉两次换面1.先把V面换成V1面，V1H，得到中间新投影体系:V1HX1—2.再把H面换成H2面，H2V1，得到新投影体系:X2—V1H2⑴新投影体系的建立AaVHaaxXX1V1a1ax1H2X2ax2a2H面没动，空间点A到H面的距离没变。V1面没动，空间点A到V1面的距离没变。在投影体系中：H是旧投影面，H2是新投影面，V1是保留投影面；X1是旧轴，X2是新轴。X2—V1H2三峡大学9ax2aaXVH⑵求新投影的作图方法a2X1HV1X2V1H2作图规律a1a2X2轴a2ax2=aax1a1axax1..作图规律aa1X1轴a1ax1=a’ax第二次新投影关键：隔面量距三峡大学10VHABababX四、换面法的六个基本作图问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，V1//AB。X1HV1空间分析：作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。babaXVH新投影轴的位置？b1●a1●与ab平行.V1X1求α，H面不动；求β，V面不动。a1b1三峡大学112.将投影面的平行线变换为投影面的垂直线问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABa'b'aba1(b1)XVHaba'b'a1’(b'1)三峡大学12a1●b1●VHaaXBbbA3.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：ababXVHX1H1V1作图：X1V1X2H2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2(b2)ax2a2(b2).与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；a1b1//三峡大学13αabcacbXVH例：把△ABC变换成投影面垂直面。HV1X1空间分析：(实物)如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。dd作图过程：在平面内取一条水平线AD，将AD变换成新投影面的垂直线。b1●a1d1●c1●反映平面对哪个投影面的夹角？.4.把一般位置平面变换成投影面垂直面（可求解平面与投影面的倾角）求α，H面不动；求β，V面不动。三峡大学14abcabcVHABCXV1X1c1b1a1α三峡大学155.将投影面的垂直面变成投影面的平行面一次换面后可求解平面实形问题的关键：新投影轴必须平行于该平面的积聚性投影。Vb'a'c'HV1ABCbaX1ca'1c'1b'1X实形三峡大学16a'1b'1●6.把一般位置平面变换成投影面平行面abacbXVHc作图：AB是水平线空间分析：a2●c2●b2●c'1●X2轴的位置？平面的实形.X1HV1.与其平行一般平面垂直面平行面三峡大学17换面法的六个基本作图问题：3.把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面1.把一般位置直线变成投影面平行线一次换面4.把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面6.把一般位置平面变成投影面平行面两次换面需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线5.把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面2.把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面三峡大学18abcmncnbamk●k●(f)直线与平面相交三峡大学19解题思路1.首先进行空间分析，解题方法有直观法、逆推法和轨迹法。逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联系，再顺着做题。轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分，就是答案。2.思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。三峡大学205.用换面法在直线AB上取一点C,使AC=25。a′1b′1c′11.用换面法在直线AB上取一点C，使AC=25。c′c三峡大学21abcacbXVHdd.c1●d1●2.求△ABC与EF的交点，并判别可见性.efeff1用重影点判别可见性e1分析：把△ABC换成投影面垂直面k1kk1a1d1●三峡大学22例3：求两平行直线的距离.bacd●cdVHHV1X1作图：c'1d'1●b●a'1b'1●●a●分析：把AB、CD换成投影面垂直线，两点的距离即为所求。（逆推法）V1ACa'1(b'1)c'1(d'1)BD实长三峡大学23b'1距离dd'1X1HV1X2V1H2c2d例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。（逆推法）ccbaabXVH如下图：把AB换成投影面垂直线，变成两点的距离，且CD平行于新投影面，其投影反映实长。作图:求C点到直线AB的距离，就是过C作AB的垂线CD。空间及投影分析：c'1a'1a2b2d2过c1作线平行于x2轴。...如何确定d1点的位置？AH2BDCcabd三峡大学24例5：已知等腰三角形ABC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影（轨迹法）。a'b'XVHcabb'1c'1a'1ee'1空间及投影分析：因为高CE⊥AB，根据直角投影定理，把ab换成平行线，则c'1e'1⊥a'1b'1.ABCEc'三峡大学25cdbadacb●c'1●d2●b'1c2●●a2b2θVHXθ例6：求平面ABC和ABD的两面角。（逆推法）空间及投影分析：在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面也垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角即为所求。..●a'1●d'1三峡大学26例7:过C点作直线CD与AB相交成60º。#dX1HP1X1P1P2abacbXVHc作图：c2●●●c1●a1b1●a2●d2●d●b2●两个解！已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D点的投影如何返回？..空间及投影分析：当AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（60°），将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面，即得。（逆推法）三峡大学27换面法小结一、换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。二、换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投投影保持垂直关系同时又有利于解题需要，这样才能使用正投影规律。三、点的变换规律是换面法的作图基础，六个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。三峡大学28点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新投影轴。点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。VHXP1HX1aaa1axax1.点的换面规律三峡大学29换面法的六个基本作图问题：3.把一般位置直线变成投影面垂直线两次换面1.把一般位置直线变成投影面平行线一次换面4.把一般位置平面变成投影面垂直面一次换面6.把一般位置平面变成投影面平行面两次换面需先在平面内找一条投影面平行线变成垂直线5.把投影面垂直面变成投影面平行面一次换面2.把投影面平行线变成投影面垂直线一次换面三峡大学304、求距离（1）点与直线之间a.将直线变换成投影面垂直线。b.将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。五、换面法的应用1、求直线实长和与投影面的倾角将直线变换成投影面的平行线。2、求平面实形和重心将平面变换成投影面的平行面。3、求平面与投影面的倾角将平面变换成投影面的垂直面。三峡大学31（4）两平行平面之间将两平面变换成投影面垂直面。（5）两交叉直线之间将一直线变换成投影面垂直线。（2）点与平面之间将平面变换成投影面垂直面。（3）两平行线之间将两直线变换成投影面垂直线三峡大学325、求夹角（1）两直线之间将两直线组成的平面变换成投影面平行面。（2）两平面之间将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的交线变换成投影面的垂直线。（3）一直线和平面之间将平面变换成投影面平行面，再将直线换成投影面平行线。三峡大学33距离:1.点到直线的距离；4.线、面平行间的距离；2.平行两直线的距离；5.点到平面的距离；3.两直线的公垂线；6.平行两平面的距离。三峡大学34角度：1.相交两直线的夹角；2.交叉两直线的夹角；3.两平面的夹角；三峡大学35解题时一般要注意下面几个问题：⒈分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。⒉根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。⒊在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。三峡大学36baabcd●c例8*：已知两交叉直线AB和CD，且AB为水平线，求其公垂线的长度MN及其投影。●m●d●a′1（b′1m′1）●n′1●c′1●d′1●n空间及投影分析：VHXHV1X1●n●m由直角投影定理，把AB变为投影面垂直线时，公垂线MN平行于V1，它的投影反映实长,且m1n1⊥c1d1。V1ACDNMc1d1a1(b1m1)n1B作图：求m点是难点，MN是V1面的平行线，mn//X1..#三峡大学37*例9：两平行直线的距离为10，求水平投影ab.（轨迹法）bacd●cdVHHV1X1作图：c'1d'1●b●a'1b'1●●a●分析：把AB、CD换成投影面垂直线，两点的距离即为所求。CV1ACa'1(b'1)c'1(d'1)BD实长三峡大学38baabcd●c*例10：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。（轨迹法）MN●m●d●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空间及投影分析：VHXHV1X1圆半径=MN●n●m由直角投影定理，把AB换成垂直于V1时公垂线MN平行于V1，它的投影反映实长,且m1n1⊥c1d1。V1ACDNMc1d1a1(m1b1)n1B作图：求m点是难点，MN是P1的平行线，mn//X1..三峡大学39*例11已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。XVHedcd'e'c'a'b'a1b1c1e1d1分析：当CDE为投影面垂直面时，与直线的距离可直接求出。ba