安徽省2013年高二优质数学同步课程课件：《从平面向量到空间向量》(北师大版选修2-1)

第二章§1理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三小刚从学校大门口出发，向东行走100米，再向北行走600米，最后乘电梯上行20米到达住处．问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？提示：是．问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？提示：用空间向量．问题3：若设大门口向东行走100米为a，再向北行走600米为b，最后乘电梯上行20米为c，则a，b，c夹角分别是多少？提示：π2.空间向量(1)空间向量及其模的表示方法：有向线段字母图示表示或模或ABaa|AB||a||a|(2)向量的夹角：①定义：过空间任意一点O作向量a，b的OA和OB，则叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：．③当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b.④当〈a，b〉＝时，向量a与b平行，记作.相等向量∠AOB[0，π]π20或πa∥b(3)特殊向量：名称定义及表示零向量规定的向量叫零向量，记为0单位向量的向量叫单位向量相反向量与向量a长度而方向的向量，记为－a相等向量方向且模的向量称相等向量，且的有向线段表示同一向量或相等向量长度为0模为1相等相反相同相等同向等长如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有哪些？提示：AB，BA，AB，BA，DC，CD，DC，CD.问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD垂直的向量有几个？提示：8个．向量、直线、平面(1)方向向量：l是空间一直线，A、B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量．与AB的任意非零向量a也是直线l的方向向量．(2)法向量：如果直线l于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．AB平行垂直1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移．2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面．[例1]给出以下命题：①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝11AC；⑥空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的命题序号是________．[思路点拨]用空间向量的有关概念进行判断．[精解详析]以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同．故⑥错．[答案]①②④⑤[一点通]与平面向量一样，空间向量也有向量的模，向量的夹角，单位向量，零向量，相等向量，相反向量，平行向量的概念．两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关．1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一个圆B．两个孤立的点C．一个球面D．以上均不正确解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．答案：C2．下列命题中正确的个数是()(1)如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；(2)两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；(3)若a、b、c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1B．2C．3D．4解析：对于(1)：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故(1)正确；对于(2)：共线不一定同向，故(2)错；对于(3)：正确；对于(4)：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．答案：C3.如图所示的长方体中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.(1)试写出与AB相等的所有向量；(2)写出向量1AA的相反向量；(3)写出与向量BC的模相等的向量；(4)写出与向量11AD平行的向量．解：(1)与AB相等的向量有：DC，11DC，11AB.(2)向量1AA的相反向量有：1AA，1BB，1CC，1DD.(3)与向量BC的模相等的向量有：CB，11BC，11CB，11AD，11DA，AD，DA.(4)与向量11AD平行的向量有：11DA，11BC，11CB，BC，CB，AD，DA.[例2]如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，求(1)〈AB，AB〉，〈AD，DC〉，〈AB，CD〉．(2)〈AD，BC〉，〈AD，DC〉．[思路点拨]按空间向量夹角的定义求解，空间向量a，b夹角范围是[0，π]．[精解详析](1)∵正方体ABCD­A′B′C′D′，∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.∴〈AB，AB〉＝0，〈AD，DC〉＝π2，〈AB，CD〉＝π.(2)∵正方体ABCD­A′B′C′D′，∴AD∥BC.∴〈AD，BC〉＝〈AD，AD〉＝π4.连接AC，则△ACD′为等边三角形．∴〈AD，DC〉＝2π3.[一点通]与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈AB，AC〉＝π4，而〈AB，CA〉＝3π4.4．正四面体S－ABC中，E、F分别为SB，AB中点．则〈EF，AC〉＝________.解析：如图所示，∵E、F为中点，∴EF∥SA，而△SAC为正三角形，∴∠SAC＝π3，∴〈EF，AC〉＝2π3.答案：2π35．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AA′＝1，AD＝6，求〈AC，AB〉．解：如图，连接A′C′，BC′，∵AC＝AC，∴∠BA′C′的大小就等于〈AC，AB〉．由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中A′B＝AA′2＋AB2＝2，A′C′＝AB2＋AD2＝3，BC′＝AD2＋AA′2＝7.∴cos∠BA′C′＝A′C′2＋A′B2－BC′22·A′C′·A′B＝12.∴∠BA′C′＝π3.即〈AC，AB〉＝π3.[例3](12分)如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．[思路点拨](1)只要作出过F与DE平行的直线即可．(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可．[精解详析](1)连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊12BC.又BC綊AD，∴EF綊12AD.(3分)取AD的中点M，连接MF，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，(4分)∴MF∥DE.∴FM就是直线DE的一个方向向量．(6分)(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.(7分)又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.(8分)∵DE平面PCD，∴DE⊥BC.又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC.从而DE⊥平面PBC.(10分)∴DE是平面PBC的一个法向量．(11分)由(1)可知FM＝ED，∴FM就是平面PBC的一个法向量．(12分)[一点通]直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点．(1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量；(2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量．解：(1)如图所示，取BC中点F，连EF，BC1，则EF∥BC1.又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，∴EF为直线AD1的方向向量．(2)连B1C，则B1C⊥BC1.又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.∴B1C⊥面ABC1D1.∴1BC为平面ABC1D1的法向量．7.如图所示，正三棱锥S－ABC中，D为AB中点．求证：AB为平面SCD的法向量．证明：∵D为AB中点，且△ABC为正三角形，∴CD⊥AB.又△SAB为等腰三角形，∴SD⊥AB.∴AB⊥面SCD.∴AB为平面SCD的法向量．1．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小．2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．3．平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线段也不一定在同一条直线上．