甘肃省永昌县第一中学高中数学课件 12-3 几何概型

§12.3几何概型基础知识自主学习要点梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为.长度面积体积几何概型2．几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积4．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．5．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．[难点正本疑点清源]1．古典概型与几何概型的异同点几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数一个是有限的，一个是无限的，基本事件可以抽象为点．对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．2．解决几何概型的关键是准确理解问题的“测度”．几何概型问题易错的根本原因是找不准“测度”．基础自测1．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有实根的概率为________．解析方程有实根，则Δ＝12－4n≥0，即n≤14，又n∈(0,1)，∴方程有实根的概率为14.142．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝|CD||AB|＝13.133．如图所示，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．解析大正方形的面积为9cm2，小正方形的面积为4cm2，∴P(A)＝49.494．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π8解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝2－π22＝1－π4.B5．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为()A.22B.22πC.16D.16π解析由题意得：P＝18×43πa3a3＝π6.D题型分类深度剖析题型一与长度有关的几何概型例1有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？思维启迪从每一个位置剪断都是一个基本事件，基本事件有无限多个．但在每一处剪断的可能性相等，故是几何概型．解记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10－3－3＝4(米)．在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P(A)＝10－3－310＝410＝0.4.探究提高从该题可以看出，我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样．而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．变式训练1某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．解设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.所以P(A)＝dD＝610＝35.故乘客候车时间不超过6分钟的概率为35.题型二与面积有关的几何概型例2在可行域内任取一点，规则如流程图所示，求能输出数对(x，y)的概率．思维启迪：即在可行域1111xyxy内求出点(x，y)，求它在x2＋y2≤12内的概率．解由题意，求输出的数对(x，y)的概率，即求x2＋y2≤12所表示的平面区域与不等式组1111xyxy所表示的平面区域面积的比．如图所示，所求概率P(A)＝π×122×2＝π4.探究提高数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.变式训练2在边长为2的正△ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．解析以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴P＝3×12×π3×1234×22＝3π6.36题型三与角度有关的几何概型例3在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM||AC|的概率．思维启迪如图所示，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处，使|AM||AC|的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何概型的条件．解设事件D为“作射线CM，使|AM||AC|”．在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝180°－30°2＝75°，μA＝90－75＝15，μΩ＝90，所以P(D)＝1590＝16.探究提高几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的．变式训练3如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率．解∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，在Rt△ADB中，AD＝3，∠B＝60°，∴BD＝ADtan60°＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得∠BAM∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式得P(N)＝30°75°＝25.点评解答本题时，要特别注意“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”这句话，由此确定测度是角度．如果把这句话改为“在线段BC上找一点M”，则问题的情境立刻发生改变，相应的测度应改为线段的长度，所求概率为P(N)＝BDBC＝11＋3＝3－12.题型四与体积有关的几何概型例4一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是__________．思维启迪考虑蜜蜂所处的总空间以及蜜蜂飞行的安全空间．解析记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故P(A)＝103303＝127.探究提高对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)．本题的易错点是：计算错蜜蜂飞行的安全空间．答案127变式训练4在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝23－12×4π3×1323＝1－π12.1-π12思想与方法19．转化与化归思想在几何概型中的应用试题：(12分)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．审题视角(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间．在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．(2)两人能会面的时间必须满足：|x－y|≤15.这就将问题化归为几何概型问题．规范解答解以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，乙、则两人能够会面的充要条件丙、是|x－y|≤15.[4分]在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．[8分]由几何概型的概率公式得：P(A)＝SAS＝602－452602＝3600－20253600＝716.[11分]所以，两人能会面的概率是716.[12分]批阅笔记(1)本题的难点是把两个时间分别用x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化成面积型几何概型的问题．(2)本题错误的主要原因，是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用．思想方法感悟提高．思想方法感悟提高方法与技巧1．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技巧，必须熟练掌握．失误与防范1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．返回