第五章系统的稳定性分析

2020/1/30机械工程控制基础华中科技大学机械学院机电系易朋兴、熊良才机械工程控制基础2华中科技大学易朋兴2020/1/30第五章系统稳定性分析系统的稳定性与稳定条件Routh（劳斯）稳定判据Nyquist稳定判据Bode稳定判据系统的相对稳定性作业5.3,5.5,5.9(1、3),5.10,5.11机械工程控制基础3华中科技大学易朋兴2020/1/30系统不稳定现象例：液压位置随动系统原理：外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开→活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→平衡位置→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启……5.1系统的稳定性与稳定条件机械工程控制基础4华中科技大学易朋兴2020/1/30系统不稳定现象例：液压位置随动系统①随动：活塞跟随阀芯运动②惯性：引起振荡③振荡结果：①减幅振荡（收敛，稳定）②等幅振荡（临界稳定）③增幅振荡（发散，不稳定）5.1系统的稳定性与稳定条件机械工程控制基础5华中科技大学易朋兴2020/1/30结论：1.系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），与输入无关2.不稳定现象的存在是由于反馈作用3.稳定性是指自由响应的收敛性定义：系统在初始状态作用下无输入时的初态输入引起的初态输出（响应）收敛（回复平衡位置）系统稳定发散（偏离越来越大）系统不稳定5.1系统的稳定性与稳定条件系统不稳定现象机械工程控制基础6华中科技大学易朋兴2020/1/30)()()()()(01)1()(1txtxatxatxatxaioonnnono线性定常系统：nitsinitsitBeAeAtxiio1211)()(强迫响应输入引起的自由响应系统的初态引起的自由响应自由响应si:系统的特征根5.1系统的稳定性与稳定条件系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根机械工程控制基础7华中科技大学易朋兴2020/1/30当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位于[s]平面的左半平面）0lim1211nitsinitsitiieAeA自由响应收敛，系统稳定若有任一sk具有正实部（位于[s]平面的右半平面）nitsinitsitiieAeA1211lim自由响应发散，系统不稳定tstkelim5.1系统的稳定性与稳定条件系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根机械工程控制基础8华中科技大学易朋兴2020/1/30若有特征根sk=±jω（位于[s]平面的虚轴上），其余极点位于[s]平面的左半平面tjknitsinitsiteAeAeAii1211lim自由响应等幅振动，系统临界稳定若有特征根sk=0（位于[s]平面的原点），其余极点位于[s]平面的左半平面knitsinitsitAeAeAii1211lim自由响应收敛于常值，系统稳定ktskAeAk简谐运动5.1系统的稳定性与稳定条件系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根机械工程控制基础9华中科技大学易朋兴2020/1/30结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。线性定常系统稳定的充要条件：若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）均具有负实部（位于[s]平面的左半平面），则系统稳定。5.1系统的稳定性与稳定条件系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根如何判别？求出闭环极点？实验？①高阶难求②不必要如果不稳定，可能导致严重后果机械工程控制基础10华中科技大学易朋兴2020/1/30思路：①特征方程→根的分布（避免求解）②开环传递函数→闭环系统的稳定性（开环极点易知，闭环极点难求）稳定判据5.1系统的稳定性与稳定条件系统的稳定性条件：系统是否稳定完全取决于系统的特征根机械工程控制基础11华中科技大学易朋兴2020/1/305.2Routh（劳斯）稳定判据——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）系统稳定的必要条件设系统特征方程为：0)(0111asasasasDnnnn)())((210111nnnnnnnssssssaasaasaass1,s2,…,sn：特征根niinnjnjijiinniinnsssssssssssss122,11121)1()()()())((因为比较系数：niinnnkjikjikjinnnjijijinnniinnsaasssaassaasaa103,2,132,1211)1(,,系统稳定的必要条件：各系数同号且不为零或：an0,an-10,…,a10,a00机械工程控制基础12华中科技大学易朋兴2020/1/30系统稳定的充要条件特征方程：0)(0111asasasasDnnnnRouth表：1121432143217531642012321FEDDBBBBAAAAaaaaaaaasssssssnnnnnnnnnnnn13211nnnnnaaaaaA15412nnnnnaaaaaA17613nnnnnaaaaaA141713131512121311AAaaABAAaaABAAaaABnnnnnn其中：Routh判据：Routh表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。5.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础13华中科技大学易朋兴2020/1/30例1系统的特征方程D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0003000123030111)30(030301111)19(101113019101234（改变符号一次）（改变符号一次）sssssRouth表：第一列各元符号改变次数为2，因此1.系统不稳定2.系统有两个具有正实部的特征根系统稳定的充要条件5.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础14华中科技大学易朋兴2020/1/30例2已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。)2()()()()(22nnKssKssEsXsGo222322)()()()(nnnnioBKsssKssXsXsG02)(2223nnnKssssDD(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=00750006.34750075006.34075006.340750010123KKKssss由系统稳定的充要条件，有(1)7500K0，亦即K0。显然，这就是由必要条件所得的结果。(2)，亦即K34.6。故能使系统稳定的参数K的取值范围为0K34.6。06.34750075006.34K系统开环传递函数：系统闭环传递函数：特征方程：即：机械工程控制基础15华中科技大学易朋兴2020/1/30二阶系统(n=2)稳定的充要条件为：a20,a10,a00,三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：a30,a20,a00,a1a2－a0a30特别：系统稳定的充要条件5.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础16华中科技大学易朋兴2020/1/30•如果在Routh表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。于是Routh表的计算无法继续。•为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。此时，系统为临界稳定系统。•P164例4特例1：某行第一列元素为05.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础17华中科技大学易朋兴2020/1/30如果在Routh表中任意一行的所有元素均为0，Routh表的计算无法继续。•出现上述情况，一般是由于系统的特征根中•存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定)•存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定）•存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定）•以上几种根的组合等•利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式•用多项式方程的导数的系数组成表的下一行•这些特殊的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到•P164例5特例2：某行元素全为05.2Routh（劳斯）稳定判据机械工程控制基础18华中科技大学易朋兴2020/1/305.3Nyquist稳定判据——几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）幅角原理FsLLsFs平面映射平面)]([][Ls：[s]平面上一封闭曲线（不经过F(s)的奇点）设有复变函数：)())(()())(()(2121nmpspspszszszsKsF幅角原理：ｓ按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即包围原点N次。N=Z-PZ：Ls内的F(s)的零点数P：Ls内的F(s)的极点数机械工程控制基础19华中科技大学易朋兴2020/1/30开、闭环零极点与F(s))()(1)()(sHsGsGsGB)()())(()())(()())(()())(()())(()(2121212121nnpspspssssssspspspszszszsKpspspssFnnnmn取F(s)=1＋G(s)H(s)=1+Gk(s))()())(()())(()()()(2121mnpspspszszszsKsHsGsGnmK5.3Nyquist稳定判据机械工程控制基础20华中科技大学易朋兴2020/1/30[s]平面上的Nyquist轨迹的选取[F(s)]与[GH]平面上的Nyquist轨迹F(s)=1+Gk(s)①s沿虚轴L1：s=jω，（ω从－∞到+∞）；LGH：G(jω)H(jω)s沿L2：s→0；LGH：mnmnsHsGs当常量当0)()(lim②LF包围原点的圈数=LGH包围（－1，j0）点的圈数N=Z-P5.3Nyquist稳定判据机械工程控制基础21华中科技大学易朋兴2020/1/30当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的极点数）对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围（-1，j0）点步骤：•确定P•作G(j)H(j)的Nyquist图•运用判据判据5.3Nyquist稳定判据机械工程控制基础22华中科技大学易朋兴2020/1/30例15.3Nyquist稳定判据机械工程控制基础23华中科技大学易朋兴2020/1/30例2)1)(1)(12()1)(1()()(321221sTsTsTsTsTsTKsHsGba开环不稳定，闭环稳定P=15.3Nyquist稳定判据机械工程控制基础24华中科技大学易朋兴2020/1/30开环含有积分环节的Nyquist轨迹niimjjTsTKsHsG11)1()1()()(当s沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有jrres0lim映射到[GH]平面上的Nyquist轨迹为：jrresniimjjreserKTsTKsHsGjrjr0lim11limlim)1()1()()(