3.2复数代数形式的四则运算

复习abxyOOZ复数的几何意义:1.复数z=a+bi，表示向量：OZ2.复数的模等于向量的模：)0(|i|22rbarbaz3.相等的向量表示同一个复数.3.2复数代数形式的四则运算1、复数代数形式的加法我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i.很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.设，z1＝a1+b1i,z2＝a2+b2i,z3＝a3+b3i(a1,b1,a2,b2,a3,b3∈R)z1+z2＝(a1+a2)+(b1+b2)i＝(a2+a1)+(b2+b1)i＝z2+z1(z1+z2)+z3＝[(a1+a2)+(b1+b2)i]+a3+b3i＝[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i＝[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i＝z1+(z2+z3)交换律结合律设:z1,z2，z3∈C，有：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)z1+z2=z2+z12、复数的加法满足交换律、结合律复数加法的几何意义向量加法的平行四边形法则xyOZ1(a,b)Z2(c,d)baOZ,1dcOZ,2dbcaOZ,Z21OZOZ复数的加法可以按照向量的加法来进行各向量对应的复数+=+=a+bic+di(a+c)+(b+d)i复数的减法实数的减法加法的逆运算复数的减法加法的逆运算(c+di)+(x+yi)=a+bi(c+x)+(d+y)i=a+bi(a+bi)-(c+di)=x+yi=(a-c)+(b-d)ix=a-cy=b-d复数减法的几何意义xyOZ1(a,b)Z2(c,d)1221ZZOZOZz2-z1结论：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i例1、计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=（5-2-3）+（-6-1-4）i=-11i典例剖析1、计算：(1)(2+4i)+(3-4i);(2)5-(3+2i);(3)(4)(0.5+1.3i)-(1.2+0.7i)+(1-0.4i)2213()(1)()3324iii课堂练习：52-2i75612i0.3+0.2i2、在复平面内，复数6+5i与-3+4i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量，对应的复数。OAOBABBAAB对应的复数为（-3+4i）-（6+5i）=-9-iBA对应的复数为（6+5i）-（-3+4i）=9+i1、复数代数形式的乘法我们规定，复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i2、复数乘法满足交换律、结合律的证明设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i.(1)因为z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(a2b1+b2a1)i,所以z1z2=z2z1容易得到，对任意z1,z2,z3C,有(z1z2)z3=z1(z2z3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3（同学们课后证明）例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.典例剖析例2计算:(1)(3+4i)(3-4i);(2)(1+i)2解:(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3、共轭复数的定义当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数。思考：若z1z2，是共轭复数，那么（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？（２）z1z2是一个怎样的数？答案：关于x轴对称复数除法的法则是:).0()()(2222dicidcadbcdcbdacdicbia作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.方法:在进行复数除法运算时,通常先把)()(dicbia写成dicbia的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后就可得到上面的结果.这与作根式除法时的处理是很类似的.在例3计算).43()21(ii.525125105434683)43)(43()43)(21(4321)43()21(:22iiiiiiiiiiii解