第9章_方差分析及回归分析9.1_单因素试验的方差分析

第一节单因素试验的方差分析的统计特性三、EASS,一、单因素试验二、平方和的分解四、假设检验问题的拒绝域五、未知参数的估计六、小结一、单因素试验化工产品的数量和质量反应温度压力原料成分原料剂量溶液浓度操作水平反应时间机器设备方差分析——根据试验的结果进行分析，有关因素对试验结果.鉴别各个试验指标——试验中要考察的指标.因素——影响试验指标的条件.因素可控因素不可控因素水平——因素所处的状态.单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.例1表9.1铝合金板的厚度设有三台机器,板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示.用来生产规格相同的铝合金薄机器Ⅰ机器Ⅱ机器Ⅲ0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262假定除机器这一因素外,试验目的:其他条件相同,属于单因素试验.考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异.即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响.水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平.试验指标:因素:薄板的厚度机器结论:如果厚度有显著差异，表明机器这一因素对厚度的影响是显著的.下表列出了随机选取的、例2表9.2电路的响应时间类型的电路的响应时间（以毫秒计）用于计算器的四种26181516类型Ⅲ2718193320222122182019机器Ⅳ类型Ⅱ类型Ⅰ154017试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无显著的影响.试验指标:因素:水平:电路的响应时间电路类型四种电路类型为因素的四个不同的水平单因素试验一火箭用四种燃料,例3表9.3火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4射程如下.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,三种推进器作射程试验.试验指标:因素:水平:双因素试验试验目的:燃料有4个,射程推进器和燃料推进器有3个,考察推进器和燃料两因素对射程有无显著的影响.关于例1的讨论,1设总体均值分别为:0H检验假设,2.312,3:1H,1,2.3不全相等进一步假设各总体均为正态变量,问题解决方法且各总体的方差相等,但参数均未知.检验同方差的多个正态总体均值是否相等.(一种统计方法)方差分析法数学模型,,,,21sAAAsA个水平有设因素,),,2,1下s.的结果jAj(在水平,)2(次独立试验进行jjnn得到如下表样本总和样本均值总体均值1A2AsA观察结果水平11X21X11nX1T1X112X22X22nX2T2X2sX1sX2snsXsTsXs表9.4假设下的样本各个水平),,2,1(.1sjAj),,2,1(,2sjj均值分别为来自具有相同方差),,(2jN的正态总体;2均未知与jjnjjjXXX,,,21..2下的样本之间相互独立不同水平jA),,(2jijNX～因为).,0(2NXjij～所以,表示随机误差记ijjijX可写成那么ijX　　　　单因素试验方差分析的数学模型,ijjijX,),0(2Nij～,独立各ij,,,2,1jni,,,2,1sj　　均未知与.2j需要解决的问题:0H1.检验假设:1H,s12.不全相等s,1,2,.21估计未知参数,2,,s.2数学模型的等价形式,1sjjnn记总平均,jjssnnn2211.,平均的差异平均值与总下的总体表示水平应的效水平jjAA.11sjjjnn.,,2,1sj.0　　　　　　　　,ijjijX,),0(2Nij～,独立各ij,,,2,1jni,,,2,1sj　　均未知与.2j原数学模型改写为,ijjijX,),0(2Nij～,独立各ij,,,2,1jni,,,2,1sj.01sjjjn等价于检验假设:0H:1H,1,2,.不全为零s12s,0:0H原检验假设:1H,s12.不全相等s,1,2X数据的总平均TS总偏差平方和（总变差）jX下的样本平均值水平jA二、平方和的分解sjniijjXn111sjniijjXX112)(jniijjXn11TSsjnijjijjXXXX112)]()[(sjnijsjnijijjjXXXX112112)()(sjnijjijjXXXX11))((2sjniijjXX112)(sjnijjijjXXXX11))((2sjnijijjjXXXX11])()[(2sjnijjijjjXnXXX11])[(20其中，可分解为于是AETTSSSSAS212XnXnsjjjsjjjXXn12)(sjnijjXX112)(ES.称为平方和分解式AETSSSsjnijijjXX112)(其中误差平方和效应平方和ES,)()(1212111snisisniiXXXX,1),()(212倍的样本方差的是jjnijijnNXXj).1()(2212jnijijnXXj～三、SE,SA的统计特性sjnijijjXX112)(,独立又由于各ijX2ES即　　，分布的性质可以得到根据2的自由度为ES)(ESE.1sjjnn其中;sn分布的可加性知所以由2～,)1(12sjjn～),(2sn.)(2sn2ESASsjnijjXX112)(sjjjXXn12)]([sjjjjXXnn1)]([XnXsjniijj11sjjjXXn1)(0因为.1sSA的自由度为所以又因为,,111相互独立ijsjniijXXnXj,11sjjjnn所以～.,2nNX)(ASE)()(212XnEXEnsjjj22122)(nnnnsjjjj][212XnXnEsjjj2122122)1(nnnnssjjjsjjjsjjjns122)1(,独立与EASS,0为真时H2AS～).1(2s,0为真时H1sSEA,1为真时H1sSEA四、假设检验问题的拒绝域,2,012sjjjn.112122sjjjns:0H:1H,1,2,.不全为零s12s,0检验假设;.1分子和分母相互独立;.22的数学期望始终是分母ES,.30为真时H,0不真时H.取值有偏大的趋势分子.)()1(snSsSFEAF拒绝域的形式为)()1(snSsSEA.k,2分子的期望为,0是否为真不管H.)(2的无偏估计都是snSE.确定由预先给定的显著水平其中k)()1(22snSsSEA)()1(snSsSEA检验假设:0HF拒绝域为).,1(snsF:1H～12s.,,,21不全为零s)()1(snSsSEA).,1(snsF,0,0为真时因为H),(22snSE～),1(22sSA～9.5单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度均方F比因素A误差总和ASESTS1ssn1n1sSSAAsnSSEEEASSF.1的均方和称为和表中EAEEAASSsnSSsSSTSESAS,2112nTXsjniijj,212nTnTsjjj2112XnXsjniijj212XnXnsjjj.ATSS,1jniijjXT记,11sjniijjXT,,,1sj的简便计算公式：和、EATSSS例4表9.1铝合金板的厚度设有三台机器,板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示.05.0）：（取检验假设,:3210H用来生产规格相同的铝合金薄不全相等3211,,:H机器Ⅰ机器Ⅱ机器Ⅲ0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262解sTS1nn158.3963912.02,32n3n,51531512TXjiij,33245001.015AS3122jjjnTnT158.3)31.128.121.1(512222,00105333.0ESATSS.192000.0例4的方差分析表F005.0H下拒绝在水平各机器生产的薄板厚度有显著差异.92.32)12,2(05.0F.89.3方差来源平方和自由度均方F比因素0.0010533320.0005266732.92误差0.000192120.000016总和0.0012453314)(XE)(jXE,ˆX故j五、未知参数的估计.ˆ,220的无偏估计是是否为真不论snSHE，,jsj,,2,1.ˆ的无偏估计和分别是jjjX,jsj,,2,1.ˆ的无偏估计是于是jjjXX,0H若拒绝不全为零，，，，意味着效应s21)(kjXXE)(kjXXDj.,,2,1sjjˆjsjjnˆ1，jXXjsjjjXnXn10,kj,112kjnn,ˆ2独立与snSXXEkj由于)11()()(kjEkjkjnnSXX于是)(11)()(2snSnnXXEkjkjkj的的置信水平为均值差1kjkj置信区间为.)(~snt.)11()(2kjEkjnnSsntXX例5,42中的未知参数求例解2ˆ1ˆˆ1ˆ2ˆ3ˆ2ˆ3ˆ的点)3,2,1(jj.95.0的置信区间平为估计及均值差的置信水1x,242.02x,256.03x.262.0xx1,011.0x,253.0xx2,003.0xx3.009.0因为)12(025.0t,1788.2)(025.0snt,j)(snSE,000016.0)11()12(025.0kjEnnSt,006.0的置信区间为的置信水平为所以95.021)006.0256.0242.0(),008.0,020.0()006.0262.0242.0(的置信区间为的置信水平为95.031),014.0,026.0(的置信区间为的置信水平为95.032)006.0262.0256.0().0,012.0(例605.0解记类型分别以4321,,,I、II、III、Ⅳ.体的平均值四种电路响应时间的总05.0检验检验各类型电试取水平又设但参数均未知.且各总体的方差相同，为正态，设在例2的四种类型电路的响应时