16.4组合

16.4组合(1)教学目标:1.理解组合的概念、会用枚举法、树型图进行组合计数，识别排列与组合的区别与联系2.利用排列数公式推导组合数公式,3.会进行组合数的式子变形与证明一.引入问题1.某学生要从上海的三个旅游点:佘山、朱家角、大观园中选出两地安排一天的旅游活动,共有多少种不同的选法?(不计游玩顺序)一天游两地,3选2的排列有:佘山朱家角大观园佘山佘山朱家角朱家角大观园大观园其中不计顺序:“佘山朱家角”与“朱家角佘山”是同一种选法∴共有3种不计游玩顺序不同的选法.问题2.赵、钱、孙、李四人聚会,见面时相互握(一次)手致意,共握手多少次?注意:赵与钱握手就是钱与赵握手算作一次赵钱孙李钱孙李孙李“排列”与“组合”的区别与联系:①它们的共同点是:n个不同元素中选取m个元素;②它们的不同点:取出的元素,排列要“按一定顺序排成一列”,如(a,b)与(b,a)是不同的排列；而组合却选出的元素“不管怎样的顺序组成一组”,如(a,b)与(b,a)是同一个组合;③“组合”中的关键性动词:“选出”的元素“组成”一组(元素之间无顺序);“排列”中的关键性动词:“选出”的元素“排成”一列(元素之间有顺序关系);二.组合的定义:一般的,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;所有组合的个数叫做组合数,用Cn表示.m两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合有什么特点?例1.判断下列问题是排列还是组合?(1)集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?组合问题(2)数集A={1,2,3,4,5},则集合A的3个不同元素作为函数y=ax2+bx+c的系数值,不同的函数有多少个?排列问题(3)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需要多少种车票?组合问题有多少种不同的票价?排列问题三.推导组合数公式问题1.3个不同元素选取2个不同元素,求有多少种不同的排列数?将3个不同元素选取2个不同元素的不同的排列,分两步完成:第一步,选取2个元素有C3个2第二步,选出的元素进行排列,不同的排列数有P2个2根据乘法原理,不同的排列数C3P222又由排列数的定义:P32∴P3=C3P22222C3=P32P22所以组合数公式:问题2.求n个不同元素选取m(mn)个不同元素的排列数?将n个不同元素选取m个不同元素的不同的排列,分两步完成:第一步,选取m个元素有Cn个m第二步,选出m的元素进行排列,不同的排列数有Pm个m根据乘法原理,不同的排列数CnPmmm又由排列数的定义:Pnm∴Pn=CnPmmmmmCn=PnmPmm所以组合数公式:组合数公式:n个不同元素选取m(mn)个不同元素的组合数:mCn=PnmPmm∵Pn=n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1)m∴mCn=PnmPmm…①=n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1)m(m-1)(m-2)…..3.2.1…②=n!m!(n-m)!…③例1.计算:(1)C7(2)C835解:(1)C73=7×6×53.2.1…②=35解:(2)C85=8×7×6×5×44.3.2.1…②=56练1.计算:(1)C10(2)C1234例2.求证:Cnm=Cn+1m+1m+1n+1证:Cn+1m+1m+1n+1=(n+1)!m+1n+1(n-m)!(m+1)!×…③=n!(n-m)!m!Cn=mn!m!(n-m)!…③∴Cnm=Cn+1m+1m+1n+1练2.求证:Cnm=Cn-1m-1nm例3.已知Cn=Pn,求自然数n的值32由排列数与组合数公式得:n(n-1)(n-2)=n(n-1)3×2×1n-2=6,∴n=8小结:作业书本P671,册P441,P4567816.4组合(2)教学目标:1.研究并掌握组合数的两个性质,并能简单应用2.利用组合数公式进行简单应用3.能正确区分排列与组合问题,并用排列数和组合数公式解决些综合性的问题一.研究组合数公式的一些计算性质组合数公式mCn=PnmPmm…①=n(n-1)(n-2)…(n-m+3)(n-m+2)(n-m+1)m(m-1)(m-2)…..3.2.1…②=n!m!(n-m)!…③1.排列数公式中,规定:Pn=n,1组合数公式中,Cn=n1∴Cn=Pn=n1132.分别计算各对组合数的值:C12与C12,C10与C10487你能猜想组合数的性质?C12=C12,C10=C103487一般的,Cn=Cnkn-k0kn83.分别计算各对组合数的值:C9+C9与C10,C13+C13与C1345758一般的,Cn+Cn=Cn+1kk0knk-1规定Cn=10二.组合数的一些计算性质及其应用1.Cn=Pn=n112.Cn=Cnkn-k0kn3.Cn+Cn=Cn+1kk0knk-1例1.计算:(1)C18+C54(2)C99+C9916529796解:(1)C18+C541652=C18+C542218×17=+=15482×154×532×1解:(2)C99+C999796=C99+C99323=C100100×99×983×2×1==161700练1.计算:C175+C1752172(3)C6+C6+C7+C8+C923456=C7+C7+C8+C93456=C8+C8+C9456=C9+C956=C106=C10=21042例2.求证:C2+C3+C4+…+Cm=Cm+1-1123m-1证:C2+C3+C4+…+Cm123m-10=C2+C2+C3+C4+…+Cm-1123m-1=C3+C3+C4+…+Cm-1123m-1=C4+C4+…+Cm-123m-1…=Cm+Cm-1m-2m-1=Cm+1-1m-1=Cm+1-1得证.2练2.书本P672,3,43练2.计算:C3+C4+C5+C6+C7+C833333=C94练3.计算:C96+C97+C98+C999495223=C100-C963练4.求证:Cn+2=Cn+2Cn+Cnmmm-1m-2证:Cn+2Cn+Cnmm-1m-2=Cn+Cn+Cn+Cnmm-1m-2m-1=Cn+1+Cn+1mm-1=Cn+2m练5.解方程:(1)C18=C18(2)C15=C152xx+22x2x-1解:根据组合数的性质:方程(1)的解满足:2x=x+2或2x+(x+2)=1802x18,0x+218,xZ求得:x=2(2)2x=2x-1或2x+(2x-1)=1502x15,02x-115,xZ求得:x=4小结:作业书本P67,册P45678P461B216.4组合(3)教学目标:1.能正确区分排列与组合问题,并用排列数和组合数公式解决些综合性的问题2.学会对具有限制条件的问题进行概括、发现、归纳出解决组合基本问题的对策例1.某班要选举班级干部,现有10名候选人,要从10名候选人中选出5人.(1)将这5人组成班委,有多少种不同的选法?(2)让这5人担任班委中五项不同的职务,有多少种不同的选法?问题(1)中的班委与班委之间没有顺序关系,即5人成一组,故是组合问题,有C10=2525问题(2)5人担任不同的职务,有顺序关系,即5人排序,是排列问题,有P10=302405一.排列与组合的区分练1书本P651(1)从10名学生中选出5名学生去参观一个展览会,求有多少种不同的选法?(2)从1、2、3、4、5这5个数字中,每次取2个数作为一个点的坐标,求所有不同的点的个数;(3)一个黄袋中有四张分别写有1、3、5、7的卡片,另一个红袋中也有四张分别写有2、8、16、32的卡片,从红袋和黄袋中各任取一张卡片,求出两张卡片上的数相加所得的和的种数.解(1)中的班委与班委之间没有顺序关系,即5人成一组,故是组合问题,有C10=2525(2)横坐标的选取方法有P5,纵坐标的选取有P5,共有P5P5=251111(3)枚举发现:红黄两袋各取一个数之和的数值没有重复出现,故有C4C4=1611二.组合计数问题例1.平面上有12个不同的点,其中任何3点不在同一直线上.如果任取3点作为顶点的三角形有多少个?分析:关键是鉴别出原问题是排列问题还是组合问题?解:是组合问题,有C12=220(个)3例2.在5名男生和3名女生中各选出2名参加一个演唱小组,共有多少种不同的选择方案?解:演唱小组中的成员没有顺序关系,故是组合问题,有C5C3=30(种)22练1.一次篮球比赛有8支队参加,采用单循环制进行比赛.(1)这次比赛要进行几场?(2)这次比赛冠亚军有多少种情况?解:(1)C8=28(场)22(2)P8=56(种)例3.在上海举行的“大师杯”网球赛中,共有8名参赛选手,他们分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由两组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第三、第四名.该“大师杯”网球赛共有多少场比赛?析:据赛制规定:先小组单循环赛,每组有C4场比赛;接着淘汰赛有C2场;最后获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第三、第四名各1场.21解:据加法原理:共有2C4+C2+2=16场比赛.21例4.从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组.(1)如果这个小组男女医生都不能少于2人,共有多少种不同的建组方案?(2)如果这个小组中必须男女都有,共有多少种不同的建组方案?解:(1)建组方案分两类:2男3女有C6C3;3男2女有C6C32323由加法原理:C6C3+C6C3=75(种)2323解:(2)有男有女建组方案分三类:2男3女、3男2女、4男1女由加法原理:C6C3+C6C3+C6C3=120(种)321423(2)的另解:(排除法)所有选法中排除纯男或纯女情况:C9–C6=120(种)55练2.某小组共有10名学生,其中3名女生,现选举2名代表,至少有1名女生当选的选法有多少种?由加法原理:C7C3+C7C3=24(种)1120(排除法)所有选法中排除纯男情况:C10–C7=24(种)22◎有些关键词:至少至多有女有男等,往往可通过分类方法解题,有时可用排除法解决练3.平面上有10个点,其中除有4个点在同一直线上以外,不再有3点共线,经过这些点,可以确定多少条直线?6个点据两点确定一条直线原理:选取的两点分6选2或6、4各选1和过4点的一条直线C6+C6C4+1=28(条)211练4.平面上两组平行线互相垂直,一组由6条平行线组成,另一组有5条平行线组成,则它们能围成多少个矩形?6条5条由乘法原理:C5C6=150(个)22小结:作业册P441~5,P459~11P461~6