第7章 拉伸和压缩

第7章轴向拉伸与压缩§7-2横截面上的应力§7-3拉压杆的强度计算§7-4斜截面正应力§7-6拉（压）杆内的应变能§7-8简单的拉，压超静定问题§7-5拉（压）杆的变形和位移§7-7低碳钢和铸铁受拉伸和压缩时的力学性能§7-9拉（压）杆接头的计算§7-1轴力和轴力图当外力作用线与杆件轴线重合时,称杆件为拉(压)件杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短轴向拉伸，杆发生纵向伸长轴向压缩,杆发生纵向缩短。FFFF一,截面法求横截面上的内力（轴力）设一等直杆在两端轴向拉力F的作用下处于平衡，欲求杆件横截面mm上的内力截面法是求内力的一般方法FF构件对变形的抵抗力称为内力(附加内力)，构件的内力是由于外力作用引起的.mm§7-1轴力和轴力图在求内力的截面mm处，假想地将杆截为两部分，取其中一部分为研究对象，如左侧杆段（脱离体）。（1）截开mmFFFmmmmFFFmm（2）代替弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替。合力为FN。FN（3）平衡对研究对象列平衡方程0,0FFFNxmmFFFmmFNFFNFN与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心。称为轴力。FN为杆件任一横截面m—m上的内力。mmFFFmmFNFNmmF若取右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与左侧部分上的轴力数值相等而指向相反。mmFFFmmFNFNmmFmmFFFmmFN轴力符号的规定使杆件压缩为负。++轴力的符号以使杆件拉伸为正。画轴力图时，以平行杆件轴线的x坐标表示横截面的位置，以与杆件轴线垂直的纵坐标FN表示横截面上的轴力。正值轴力位于x轴上方负值轴力位于x轴下方二,画轴力图杆件受多个轴向外力作用,各横截面上轴力的大小与性质(拉,压)可用轴力图表示.xFN2kN3kN4kN3kNDABC例题,一直杆如图所示,求1-1,2-2,3-3截面的内力,并画杆的内力图1kN5kN4kN2kNDABC112233解:1-1截面(假设轴力为正)1kNA1FN101,01FFNx)(11kNFN计算符号轴力符号1kN5kN4kN2kNDABC112233解:2-2截面(假设轴力为正)FN2041,02FFNx)(32kNFN1kNAB4kN计算符号轴力符号1kN5kN4kN2kNDABC112233解:3-3截面(假设轴力为正)02,03FFNx)(23kNFN32kND3FN3计算符号轴力符号1kN5kN4kN2kNDABC112233kNFN23kNFN32kNFN111kN3kN2kN(+)(+)(-)注意二,计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为正值，则轴力的实际符号与其计算符号一致。（设正法）一,先用外力的作用面将杆分段,求出每一段的轴力,然后画图.例7-1：作杆的轴力图。D6kNCAB5kN8kNCABD5kN8kN6kNFA解：求约束反力0586,0FFAxkNFA杆分为AB,BC,CD三段CABD5kN8kN6kNFA0,01FFFNAxkNFN求AB段的轴力（假设轴力为正）11AFAFN1负号表示该轴力的实际指向与所假设指向相反即为压力CABD5kN8kN6kNFA05,02FFFNAxkNFN求BC段的轴力（假设轴力为正）FN2即为压力22AFA5kNBCABD5kN8kN6kNFA06,03FFNxkNFN求CD段的轴力（假设轴力为正）FN3即为拉力336kNDkNFNCD作杆的轴力图kNFNBCkNFNAB672+--kNFNmax6kNCABD5kN8kNlAB§7—2横截面上的应力实验：等直杆受力前，在它的外表面上相距l的两横截面A和B间画出横向周线FFl+l观察:杆受拉伸时,梁横向周线相对平行移动,但每一条周线仍位于一个平面内.lABFFl+l平面假设：原为平面的横截面A和B，在杆受拉伸时仍为平面，且仍与杆的轴线垂直。lABFFl+l结论：杆受轴向拉伸时两横截面间的所有纵向线段其绝对伸长相同。伸长变形的程度也相同。工程力学中假设材料是均匀，连续，各向同性的。lABFFl+l杆受轴向拉伸时，横截面上只有正应力,且处处相等。AdAdAdFFAANNAdFNAFN式中：FN为轴力,A为杆的横截面面积。的符号与轴力FN的符号相同。当轴力为正号时（拉伸）,正应力也为正号，称为拉应力，当轴力为负号时（压缩）,正应力也为负号，称为压应力，dAdFNAFNmaxmax等截面直杆，如果各横截面上的轴力不同，最大正应力max将出现在轴力最大(FNmax)的横截面上。等截面轴向拉，压杆，最大轴力所在的横截面是危险截面危险截面上的正应力就是最大的工作应力。例7-2：一横截面为正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示。已知F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力。240FFABCF2150kN150kN解：先作轴力图KNFFN501KNFFN15032240FFABCF2150kN150kNMPamNAFN./...MPamNAFN./...压应力）(1.1maxMPa240FFABCF21例题,阶梯直杆AB受力如图所示.试求此杆的最大工作应力A2=200mm2ABC20kN10kNA1=400mm2解:画轴力图(+)20kN30kN(+)20kN30kNAC段:MPaAFNCB段:MPaAFN危险截面在CB段,最大工作应力为max=100MPaA2=200mm2ABC20kN10kNA1=400mm2§7-3拉压杆的强度计算为使杆件在外力作用下不致发生断裂或明显的塑性变形，即不致发生强度破坏，杆件内的最大工作应力max不能超过杆件材料的极限应力u，而且要有一定安全储备。强度条件为numaxn是个大于1的因数，称为安全因数nu][[]称为材料安全工作的许用应力强度条件][maxmaxAFN三种类型的强度计算][maxmaxAFN（1）强度校核（2）设计截面尺寸（3）确定许可荷载][maxFANAFN][][例7-5：一横截面为矩形的钢制阶梯形直杆，其受力情况及各段长度如图所示。AD段和DB段的横截面面积为BC段横截面面积的两倍，矩形截面的高度与宽度之比h/b=1.4，材料的许用应力[]=160Mpa。试选择各段杆的横截面尺寸h和b。CABD20kN40kN10kNaaa123解：作轴力图+-30kN10kN20kN只需分别对AD段和BC段进行强度计算][maxFANCABD20kN40kN10kNaaa123+-30kN10kN20kNAD段：mFAN24111087.1][BC段：mFAN24331025.1][已知A1:A3=2:1应取mA24411050.21025.12mA2431025.1][FANCABD20kN40kN10kNaaa123+-30kN10kN20kNmA24411050.21025.12mA2431025.1计算截面尺寸AD段：bbhA4.11050.2211114mmb4.131mmbh7.184.111同理BC段：mmb5.93mmbh3.134.133h/b=1.4bbhA4.11025.1233334CABD20kN40kN10kNaaa123例7-6简易起重设备中,AC杆由两根80807等边角钢组成,AB杆由两根10号槽钢组成.材料为Q235钢,许用应力[]=120MPa.求许可荷载[F]。ABCF300FA300FN1FN2解：取结点A为研究对象，受力分析如图所示。12结点A的平衡方程为0Fy030sin01FFN0Fx030cos012FFNNFFN21FFN732.12ABCF30012FFN21FFN732.12由型钢表查得mAmA24110217221086AFN][][ABCF300FA300FN1FN212FFN21FFN732.12AFN][][ABCF300FA300FN1FN2mAmA许可轴力为kNAFN260][][11kNAFN306][][2212FFN21FFN732.12ABCF300FA300FN1FN2kNFN][kNFN][各杆的许可荷载kNFFN1302][][11kNFFN177732.1][][22结构的许可荷载：[F]=130kN例题：刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力[]=160MPa，(1)试校核CD杆的强度,（2）结构的许可荷载[F],(3）若F=50kN，设计CD杆的直径。2aaFABDC解：求CD杆受力FFmNCDA2aaFABDCFNCDFACBFAxFAy2aaFABDCFNCDFACBFAxFAy][1194232MPadPAFNCD(1)F=25kN,d=20mm,试校核CD杆的强度，][maxAFN2aaFABDCFNCDFACBFAxFAy（2）结构的许可荷载[F]][AFNCD][AFFNCD[F]=33.5kNFFNCD][AFNCDCD][AF2aaFABDCFNCDFACBFAxFAyFFNCD][AFNCDCD（3）若F=50kN，设计CD杆的直径。][][FFANCD][Fdd=24.4mm取d=25mmFF求与横截面成角的任一斜截面k—k上的应力kk§7-4斜截面上的应力截面法：假想地用一平面沿斜截面k—k将杆截为二，取左段为研究对象kkFFxn为斜截面k—k的外法线n与轴线的夹角kFkxnkFkkkFF逆时针时为正号顺时针时为负号符号的规定自x转向n：+FFαpp为斜截面k—k上的全应力kkxnkFk通过实验得知,斜截面上的应力是均匀分布的FFαpkkxnkFkA记为斜截面的面积FFApAFpA为横截面的面积cosAAcosAAFFαpkkxnkFkcoscos0AFAFpAF0为横截面上的正应力沿截面法线方向的正应力沿截面切线方向的切应力将应力p分解为两个分量：FpFFαpkkαcoscos20p2sin2sin0pcos0pFpαFpcos202sin20（1）当=0时（横截面），max=0拉,压杆最大正应力发生在横截面上。在此截面上切应力为零。讨论αFpcos202sin20=450时，20maxτ（2）数值上最大的切应力发生在与轴线成±450的斜截面上=-450时，20minταFp切应力的符号规定—使脱离体有顺时针转动趋势的切应力为正,反之为负F（3）切应力互等定理900900+-F900900+-2sin202sin2)90(2sin2000)90(0)90(0F切应力互等定理：任何受力物体内一点处，两个相互垂直截面上与这两个面的交线垂直方向的切应力，必定大小相等，而指向都对着（或者背离）这两个垂直截面的交线。2sin202sin20)(9