角平分线(PPT)

12.3角平分线（2）角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等角的平分线的性质定理:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵OC是∠AOB的平分线∴PD＝PE用数学语言表述：1、请你写出角平分线性质定理的逆命题为：2、这个命题是否正确？你能用逻辑推理的方法加以证明吗？试一试。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：总结归纳：角平分线性质定理的逆定理角平分线的判定定理1、如图，点P是菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F,已知PF=5，则PE=2、如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=OPAB560°BDACFEP3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上请你总一总通过刚才的练习，你认为角平分线的两个定理有什么区别？它们各有什么作用？1、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P也在∠BAC的平分线上.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,PD⊥AB，PE⊥BCABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∴点P在∠BAC的平分线上.•通过本题的证明，你能得到一个关于三角形角平分线的什么结论？三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。实践应用1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处B.两处C.三处D.四处提示:由于没有限制在何处选址,你应怎样考虑？D通过本节课的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流一下。1、关于三角形的角平分线的说法错误的是()A.两角平分线的交点在三角形内B.两角平分线的交点在第三个角的平分线上C.两角平分线的交点到三边的距离相等D.两角平分线的交点到三个顶点的距离相等2、如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD为∠CAB的平分线，交BC于D，BC=5，BD=2则点D到AB的距离为()CDABD33、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD变式训练：若已知AD是△ABC的角平分线。求证：BE＝CF。4、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.AAAAAA∟ADNEBFMCA