第三节 定积分的换元法和

2020年1月30日10时55分1第三节定积分的换元法和分部积分法2020年1月30日10时55分2I.定积分的换元积分法II.定积分的分部积分法第五章定积分目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分3一、预备知识I.定积分的换元积分法1.不定积分的换元法（凑微分法、第二类换元法）2.牛顿-莱布尼兹公式第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分4定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.二、定积分的换元积分法第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分5应用换元公式时应注意:（1）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分6例1计算.sincos205xdxx解令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt2020年1月30日10时55分7例2计算解.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.542020年1月30日10时55分8例3计算解.)ln1(ln43eexxxdx原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.62020年1月30日10时55分9例4计算解aadxxax022)0(.1令,sintaxax,2t0x,0t,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.42020年1月30日10时55分10换元积分法例3.求下列定积分解:说明:换积分上下限.通过u=2x+1来计算.当x=0时,u=1;当x=2时,u=5.所以注意:定积分的换元法一定要换积分的上下限.1024020121)3(122)2()1(dxxdxxxdxexdudxux21,12)1(则令)(212121551512012eeeduedxeuux2020年1月30日10时55分11解:.3,4;1,0,12)2(uxuxududxux当当则令322]331[21)3(2122112231313231240uuduuuduuudxxx2020年1月30日10时55分12解:说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”.2,1;0,0cos,sin)3(txtxtdtdxtx当当则令4)2sin21(21)2cos1(21coscossin112020202202102ttdtttdttdttdxx2020年1月30日10时55分13例1计算301dxxx解,1tx令,12tx则.2tdtdx;10tx23txtdttt21212原式dtt212)1(2213]3[2tt38第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分14例2计算203cossinxdxx解.cos,sinxdtdttx则令12;00txtxdtt103原式104]41[t41注意使用定积分换元法，最后不必回代过程。但必须在换元的同时积分上下限也要作相应的变换。第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分15*例25求1121dxx解令x=sint，dx=costdt（第二类换元法）原式202202cos2cossin12tdttdtt2)2sin21(2cos12020tttdt2020年1月30日10时55分16例3计算解aadxxax022)0(.1令,sintaxax,2t0x,0t,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分17例4设)(xf在],[aa上连续，证明①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分180)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分19奇函数例5计算解.1cos2)2(sin)1(112228dxxxxxdxx（2）原式11212dxx1121cosdxxxx偶函数102114dxx210][arcsin4xxxxfsin)(8在对称区间]22[，上是奇函数，故（1）因为2280sinxdxx第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分20奇函数例6计算解.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积2020年1月30日10时55分21例7若)(xf在]1,0[上连续，证明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算02cos1sindxxxx.证（1）设tx2,dtdx0x,2t2x,0t2020年1月30日10时55分2220)(sindxxf022sindttf20)(cosdttf;)(cos20dxxf（2）设tx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft,)(sin)(0dttft2020年1月30日10时55分230)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42)44(20)(sindxxxf2020年1月30日10时55分24练一练求下列定积分10110431052)1(1)4(ln1)3(1)2()1(dxxxdxxxdxxxdxeex2020年1月30日10时55分25练一练（解答）2)arctan(2)()(112)1(1)4(23]ln21[ln)ln1(ln1)3(2ln41)1ln(41)1(11411)2(57105221)1(101021012111041044104310521052)(2121)52(xxdxdxxxxxdxxxxdxxxxxdxdxxxxedxeeeexxeeexd2020年1月30日10时55分26一、预备知识II.定积分的分部积分法1.不定积分的分部积分法2.牛顿-莱布尼兹公式第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分27设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式例6解计算10dxxex21)(xexddxxxex1010][10][xee二、定积分的分部积分法10dxxex1第三节定积分的换元法和分部积分法目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导2020年1月30日10时55分28210arcsin1xdx计算例dxdvxdxduxvxu,1,,arcsin2解22102102101]arcsin[arcsinxdxxxxxdx21022121621xdx)1()1(21122210212xdx210212)1(12x123122020年1月30日10时55分29102dxex计算例，时，；当时，当，且，则令解11002txtxtdtdxtx于是10101022ttxtdedttedxe1010)(2dtetett2])([210tee换元法分步积分法2020年1月30日10时55分30例2计算解.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040secln218x.42ln82020年1月30日10时55分31例3计算解.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(