《线性代数》同济第五版课件第二章

第二章矩阵及其运算1矩阵2矩阵的运算3逆矩阵4矩阵分块法§1矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaaaa2020/1/30第二章矩阵及其运算1定义1由个数排成的m行n列的数表mn1,2,,;1,2,,ijaimjn称为m行n列矩阵，简称矩阵．mn2020/1/30第二章矩阵及其运算2简记作ijAa1112121222121nnmmmnaaaaaaAaaa　　　　记作2,n元元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．ijmnamnA2020/1/30第二章矩阵及其运算3行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或是n阶方阵．12nAaaa称为列矩阵，又称列向量．只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量．只有一列的矩阵12mbbBb12,,,naaa2020/1/30第二章矩阵及其运算4形如12000000n的方阵称为对角矩阵，简称对角阵，也记作12,,,ndiag零矩阵有时也记作或．mnOnO元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作．O2020/1/30第二章矩阵及其运算5两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．1,2,,;1,2,,ijijabimjn如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即ijAaijBb那么就称矩阵与矩阵相等，记作．ABAB注意不同型的零矩阵是不同的．例如0000000000002020/1/30第二章矩阵及其运算6为线性变换(2)的系数矩阵．例1n个变量与m个变量之间的关系式1,,nxx1,,myy表示一个从变量到变量的线性变换，其中是常数．称ija1,,nxx1,,myyijmnAa11111221221122221122,,2nnnnmmmmnnyaxaxaxyaxaxaxyaxaxax　　　　若另有2020/1/30第二章矩阵及其运算7若记11nmxyXYxy，则线性变换(2)可表示为11111221221122221122,,3mmmmkkkkmmzbybybyzbybybyzbybyby　　　　YAX2020/1/30第二章矩阵及其运算8记1ijkmkzBbZz，则线性变换(3)可进一步表示为ZBYBAX注意线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系．2020/1/30第二章矩阵及其运算9例如线性变换1122,,nnyxyxyx叫做恒等变换，它所对应的系数矩阵100010001E叫做n阶单位矩阵，简称单位阵．2020/1/30第二章矩阵及其运算10投影变换11,10000xxy旋转变换11cossin,cossinsincossincosxxyyxy§2矩阵的运算2020/1/30第二章矩阵及其运算11一、矩阵的加法(2)矩阵加法满足交换律和结合律．定义2设有两个矩阵和，那么矩阵与的和记作，规定为mnijAaijBbABAB111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab注意(1)同型矩阵才能进行加法运算；2020/1/30第二章矩阵及其运算12111212122212nnijmmmnaaaaaaAaaaaAAOABAB设矩阵，记ijAa称为矩阵的负矩阵，显然有A由此规定矩阵的减法为2020/1/30第二章矩阵及其运算13二、数与矩阵相乘111212122212nnmmmnaaaaaaAAaaa数乘矩阵满足下列运算规律：定义3数与矩阵的乘积记作或，规定为AAAABmn设，为矩阵，，为数iAAiiAAAiiiABAB加法和数乘合起来统称为矩阵的线性运算．2020/1/30第二章矩阵及其运算14三、矩阵与矩阵相乘并把此乘积记作112211,2,,;1,2,,sijijijissjikkjkcababababimjnCAB定义4设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中ijAamsijBbsnmnijCcAB注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘．9219911410103111321022011342020/1/30第二章矩阵及其运算15例2求矩阵41010311132102201134AB与的乘积．AB244323ABC解2020/1/30第二章矩阵及其运算16注意矩阵的乘法不满足交换律．设，ijijmssnAaBb，11mmikkjikkjkkmmmmABabBAba，(1)当时，显然没有意义；mnBA(2)当时，有mnsijijmmssABcBAd，ABBA(3)当时，有mns因此在一般情况下，．ABBA但与仍然可以不相等．ABBA2020/1/30第二章矩阵及其运算17例3求矩阵24241236AB与解的乘积及．ABBA24241236AB163281624243612BA0000同理因此2020/1/30第二章矩阵及其运算18上例还表明：AOBOBAO，，但却有ABOAOBO或AOAXYOXY而但如20110211AB，则有2222ABBA对于两个n阶方阵，若，则称方阵与是可交换的．AB，ABBAAB但一般来说2020/1/30第二章矩阵及其运算19矩阵的乘法满足下列结合律和分配律：iABCABCiiABABAB其中为数在运算都是可行时，有iiiABCABACBCABACAivEAAEA由矩阵的乘法可以定义矩阵的幂．定义kkAAAA个,lklklkklAAAAAkkkABAB2020/1/30第二章矩阵及其运算20例4求矩阵解100100A的k次幂．2101001010000A2222102002020/1/30第二章矩阵及其运算212322211002010000A324323331003010000A于是假设12112000kkkkkkkkkkAk323233303004324344604002020/1/30第二章矩阵及其运算22则由数学归纳法知，假设对正整数k都成立．121111020010000kkkkkkkkkkkAAAk11111120100kkkkkkkkkk2020/1/30第二章矩阵及其运算23四、矩阵的转置例如120311A374B374TB定义5把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作．AATA132101TA2020/1/30第二章矩阵及其运算24矩阵的转置满足下述运算规律：TTiAATTTiiABAB例5已知TTiiiAATTTivABBA171201423132201AB，求．TAB2020/1/30第二章矩阵及其运算25解法1因为所以171201423132201AB0171413310TAB01431713102020/1/30第二章矩阵及其运算26解法2TTTABBA14221720031311201714133102020/1/30第二章矩阵及其运算27设为n阶方阵，如果满足，即ATAA,1,2,,ijjiaaijn那么称其为对称矩阵，简称对称阵．461680106A对称阵的元素以对角线为对称轴对应相等．例如为对称阵．若则称为反对称矩阵．TAAA2020/1/30第二章矩阵及其运算28证2TTTHEXX例6设列矩阵满足，为n阶单位阵，，证明是对称阵，且．2THEXX12,,,TnXxxx1TXXEHTHHE2TTTEXX2TEXXH所以是对称阵．H222TTTHHHEXXEXX244TTTEXXXXXX44TTTEXXXXXXE令，则TBAA证2020/1/30第二章矩阵及其运算29例7证明任意n阶方阵都可以表示成对称阵与反对称阵之和．ATTTTBAAAAB又令，则TCAA命题成立．TTTTCAAAAC所以是对称阵．B所以是反对称阵．C2222TTAAAABCA2020/1/30第二章矩阵及其运算30五、方阵的行列式方阵的行列式满足下述运算规律：niiAAiiiABABTiAA定义6由n阶方阵的元素所构成的行列式称为方阵的行列式，记作或．AAAdetAABBAkkivAA2020/1/30第二章矩阵及其运算31112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA例8行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵AijA称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵．试证AAAAAAE证设，记，则ijAaijAAb1122ijijijinjnbaAaAaAijA2020/1/30第二章矩阵及其运算32故类似有1nkikjijijkAAAaAAAEijAAAijAAE111aaaa§3逆矩阵2020/1/30第二章矩阵及其运算33在数的运算中，当数时，有0aABBAE在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法中的1，于是E定义7对于n阶矩阵，如果有一个n阶矩阵，使AB则称矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵，记作．AAB1A2020/1/30第二章矩阵及其运算34111212111212AB，例如，ABBAEABBAEACCAE，BBEBACBA是的逆矩阵若矩阵是可逆的，则的逆阵是惟一的．AA设和都是的逆阵，则ABC于是BACECC所以的逆阵是惟一的．A2020/1/30第二章矩阵及其运