《线性代数》复习重点内容 (详细版)

P学习绝不仅仅为了考试P编写本份资料仅仅为了考试P《线性代数》复习重点内容(详细版)一、2种技术1.行列式的计算（“化三角形法”与“降阶法”）【P.12例7、P.18第七行】2.矩阵的初等变换（把一个矩阵变换为“行最简形”）【P.78习题三1】二、9种方法1.计算两个矩阵的乘积【P.35例4】2.计算矩阵的逆矩阵【P.64例2】3.计算矩阵的秩【P.67例5】4.判断向量组的线性相关性【P.88例5】5.计算向量组的秩及最大无关组【P.93例11、P.108习题四11】6.计算方程组的通解（需写出“基础解系”）【P.97例12、P.101例16】7.计算矩阵的特征值及特征向量【P.118例6、P.119例7】8.求解对称矩阵的对角化问题【P.125例12】9.求解二次型的标准形【P.130例14】三、16个重要概念1.行列式【P.6定义】2.余子式、代数余子式【P.16】3.矩阵【P.29定义1】4.伴随矩阵【P.41例9】5.逆矩阵【P.43定义7】6.奇异矩阵、非奇异矩阵【P.43】7.两个矩阵的等价【P.59】8.矩阵的秩【P.66】9.满秩矩阵、降秩矩阵【P.66】10.线性相关、线性无关【P.87定义4】11.最大无关组、向量组的秩【P.90定义5、P.91推论】12.基础解系【P.95】13.正交矩阵【P.115定义4】14.特征值、特征向量【P.117定义6】15.两个矩阵的相似【P.121定义7】16.两个矩阵的合同【P.129定义9】四、20个重要结论1.行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的乘积之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n),或D=a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj(j=1,2,···,n).【P.17定理3】2.(AB)T=BTAT.【P.39】3.|λA|=λn|A|;|AB|=|A||B|.【P.40】4.AA=AA=|A|E.【P.41例9】5.若|A|̸=0,则矩阵A可逆,且A1=1jAjA.【P.43定理2】第1页P学习绝不仅仅为了考试P编写本份资料仅仅为了考试P6.若矩阵A可逆,则|A1|=|A|1.7.若矩阵AB=E(或BA=E),则A可逆,且A1=B.【P.43推论】8.(AB)1=B1A1【P.43】9.|A|=|A|n1.【P.56习题二24】10.方阵A是可逆矩阵⇐⇒A是非奇异矩阵⇐⇒A是满秩矩阵⇐⇒|A|̸=0.方阵A是不可逆矩阵⇐⇒A是奇异矩阵⇐⇒A是降秩矩阵⇐⇒|A|=0.11.n元线性方程组Ax=b(i)无解的充要条件是;(ii)有唯一解的充要条件是;(iii)有无穷多个解的充要条件是.【P.71定理3】12.线性方程组Ax=b有解的充要条件是.【P.77定理5】13.n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是.【P.77定理4】14.向量组a1,a2,···,am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵的小于;向量组线性无关的充要条件是.【P.88定理4】15.(1)若向量组A:a1,a2,···,am线性相关,则向量组B:a1,a2,···,am,am+1也线性相关.反言之,若向量组B线性无关,则向量组A.(2)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量的个数m时一定.特别地,n+1个n维向量一定.(3)设向量组A:a1,a2,···,am线性无关,而向量组B:a1,a2,···,am,b线性相关,则向量b必能由向量组A,且表达式是的.【P.89定理5】16.设m×n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=.【P.97定理7】17.若A为正交矩阵,则A1=AT也是正交矩阵,且|A|=或.【P.116】18.设n阶矩阵A=(aij)的特征值为λ1,λ2,···,λn,则(i)=a11+a22+···+ann;(ii)=|A|.【P.117】19.若λ是矩阵A的特征值,则φ(λ)是φ(A)的特征值(其中φ是“多项式”，可以出现−1次方).20.对称矩阵A为正定的充要条件是:A的都为正,即a110,a11a12a21a220,···,a11···a1n......an1···ann0;对称矩阵A为负定的充要条件是:为负,而为正.【P.133定理11】五、7个特殊公式1.对角行列式λ1λ2...λn=.【P.7例5】2.上三角行列式a11a12···a1na22···a2n......ann=.【P.7例6】3.a11···a1k......ak1···akkc11···c1kb11···b1n............cn1···ankbn1···bnn=.【P.14例10】第2页P学习绝不仅仅为了考试P编写本份资料仅仅为了考试P4.分块对角矩阵的行列式A1A2...An=.【P.50第3行】5.二阶矩阵的逆(a11a12a21a22)1=.【P.44例10】“两调一除”6.对角矩阵的逆λ1λ2...λn1=.7.分块对角矩阵的逆A1A2...An1=.【P.50第5行、例16】第3页