九年级数学下册 第二章 二次函数复习课件 北师大版 (2)

数学·新课标（BS）第2章复习1┃知识归类┃知识归纳┃数学·新课标（BS）1．二次函数的概念一般地，形如(a，b，c是常数，)的函数，叫做二次函数．[注意](1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．2．二次函数的图象二次函数的图象是一条，它是轴对称图形，其对称轴平行于轴．y＝ax2＋bx＋ca≠0抛物线y第2章复习1┃知识归类数学·新课标（BS）[注意]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．3．二次函数的性质第2章复习1┃知识归类数学·新课标（BS）一般式y＝ax2＋bx＋c顶点式y＝a(x－h)2＋ka0开口方向a＜0顶点坐标对称轴直线x＝－b2a直线x＝h开口向上开口向上开口向下开口向下－b2a，4ac－b24a(h，k)第2章复习1┃知识归类数学·新课标（BS）a＞0当x＝－b2a，y最小值＝4ac－b24a当x＝h，y最小值＝k最大(小)值a＜0当x＝－b2a，y最大值＝4ac－b24a当x＝h，y最大值＝k第2章复习1┃知识归类数学·新课标（BS）a＞0当x－b2a时，y的值随x的增大而；当x－b2a时，y的值随x的增大而当xh时，y的值随x的增大而；当xh时，y的值随x的增大而增大增减性a＜0当x－b2a时，y的值随x的增大而；当x－b2a时，y的值随x的增大而当xh时，y的值随x的增大而；当xh时，y的值随x的增大而减小增大减小增大增大减小增大减小第2章复习1┃知识归类数学·新课标（BS）4.二次函数图象的平移一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．[注意]抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．►考点一二次函数的定义应用第2章复习1┃考点攻略┃考点攻略┃数学·新课标（BS）例1已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．[解析]本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.第2章复习1┃考点攻略解：根据题意，得m2＋m＝2，m＋10.解得m＝－2.数学·新课标（BS）方法技巧解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）►考点二二次函数图象的平移例2如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.－66第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）[解析]∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，y＝x2＋bx＋c＝x＋b22＋4c－b24，又抛物线y＝(x－1)2是y＝x＋b22＋4c－b24向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）故y＝x＋b22＋4c－b24可看作是y＝(x－1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．∴y＝x＋b22＋4c－b24＝(x－1－2)2－3，即y＝x2＋bx＋c＝x2－6x＋9－3＝x2－6x＋6，∴b＝－6，c＝6.第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）方法技巧在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）►考点三二次函数与一次函数的综合应用例3已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；(4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）[解析]利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）解：(1)A(0,1)，B(0，－1)，C(4，－1)，D(4,1)，E(2,1)．(2)设抛物线的表达式为：y＝a(x－2)2＋1，∵抛物线经过点B(0，－1)，∴a(0－2)2＋1＝－1，解得a＝－12.∴抛物线的表达式为：y＝－12(x－2)2＋1.经验证，抛物线y＝－12(x－2)2＋1经过点C(4，－1)．(3)直线BD的表达式为：y＝12x－1，第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）解方程组y＝－12x－22＋1，y＝12x－1，得x＝3，y＝12.∴点P的坐标为3，12.(4)S△PEB＝12S△PBC.S△PBC＝12×4×32＝3.过P，E分别作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分别为P′，E′，S△PEB＝12×2×2＋12×32＋2×1－12×3×32＝32，∴S△PEB＝12S△PBC.第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）►考点四二次函数的图象和性质的应用例4已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是()A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定A[解析]A结合图形，找到A、O、B、C四个点的大致位置，容易看出y1与y2的大小关系．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）方法技巧解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）►考点五求二次函数的表达式例5已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图X2－2所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．[解析]由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）解：(1)把(－1,0)，(0,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得－1－b＋c＝0，c＝3，解得b＝2，c＝3.所以y＝－x2＋2x＋3.(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以，由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）方法技巧求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2＋bx＋c；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)若给出抛物线与x轴的交点，或对称轴和对称轴与x轴的交点距离，通常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）►考点六二次函数和其他知识的综合应用例6如图X2－3，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）[解析]把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a和c的值，△ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）解：(1)根据题意，得0＝a×－12－4×－1＋c，－5＝a×02－4×0＋c.解得a＝1，c＝－5.∴二次函数的表达式为y＝x2－4x－5.(2)令y＝0，得二次函数y＝x2－4x－5的图象与x轴的另一个交点坐标C(5,0)．由于P是对称轴x＝2上一点，连接AB(如图X2－4)，由于AB＝OA2＋OB2＝26，图X2－4第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）要使△ABP的周长最小，只要PA＋PB最小．由于点A与点C关于对称轴x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA＋PB＝BP＋PC＝BC，根据两点之间，线段最短，可得PA＋PB的最小值为BC.因而BC与对称轴x＝2的交点P就是所求的点．设直线BC的表达式为y＝kx＋b，根据题意，可得b＝－5，0＝5k＋b.解得k＝1，b＝－5.第2章复习1┃考点攻略数学·新课标（BS）所以直线BC的表达式为y＝x－5.因此直线BC与对称轴x＝2的交点坐标是方程组x＝2，y＝x－5的解，解得x＝2，y＝－3.所求点P的坐标为(2，－3)．数学·新课标（BS）第2章复习2┃知识归类┃知识归纳┃数学·新课标（BS）1．利用二次函数求最值的问题(1)利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤．利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：①找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)；②求出该二次函数图象的顶点坐标；③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．(2)产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式．第2章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决．也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值．[注意]在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用“数形结合”的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值．(3)与图形有关的最值问题直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了．第2章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）[警示]在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方．2．二次函数与一元二次方程的关系对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，只要令y等于某个具体的数y0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为y0的点的横坐标．特殊地，如果令y值为0，所得方程为ax2＋bx＋c＝0，该方程的解是抛物线与x轴交点的横坐标．若方程无解，则说明抛物线与x轴无交点．第2章复习2┃知识归类数学·新课标（BS）二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，得：ax2＋bx＋c＝0.当b2－4ac＞0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与x轴有个交点；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与x轴只有个交点(即顶点)；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点．两一►考点一一元二次方程与二次函数的关系第2章复习2┃考点攻略┃考点攻略┃例1抛物线y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是()A．k≥－74B．k≥－74且k≠0C．k－74D．k－74且k≠0数学·新课标（BS）B第2章复习2┃考点攻略[解析]B先根据(－7)2－4k(－7)≥0得到k≥－74，由于是抛物线，