《金版新学案》2012高三数学一轮 坐标系与参数方程课件 新人教A版选修4-4

选修4－4坐标系与参数方程第1课时坐标系与简单曲线的极坐标方程1.平面直角坐标系下的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换__________________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．φ：x′＝λ·x，λ＞0y′＝μ·y，μ＞02．极坐标系在平面内取一个定点O，由O点引一条射线Ox，一个单位长度及计算角度的_______(通常取__________)，合称为一个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的______________称为点M的极坐标，ρ称为极径，θ称为极角．正方向逆时针方向有序数对(ρ，θ【思考探究】1.极点的极坐标如何表示？提示：规定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．3．极坐标与直角坐标的转化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：x＝ρcosθy＝_______，或ρ2＝_______tanθ＝yxx≠0.顺便指出，上式对ρ0也成立．这就是极坐标与直角坐标的互化公式．ρsinθx2＋y2【思考探究】2.极坐标与直角坐标有何不同？提示：(1)直角坐标(x，y)中的两个数是数轴上的点对应的实数，极坐标(ρ，θ)中的极径ρ表示距离，θ表示角．(2)平面直角坐标系中的点与坐标是一一对应的，而极坐标系中一个确定的点可以有多个坐标．4．柱坐标系与球坐标系设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数ρ、θ、z构成的_____________称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ2π，z为任意实数．由此可见，柱坐标就是平面上的极坐标，加上与平面垂直的一个直角坐标．因此，由平面上极坐标和直角坐标的变换公式容易得到：数组(ρ，θ，z)空间直角坐标与柱坐标的变换公式是_____________.直角坐标与球坐标的变换公式是_____________.x＝rsinφcosθy＝rsinφsinθz＝rcosφx＝ρcosθy＝ρsinθz＝z平面直角坐标系中的伸缩变换求满足图象变换的伸缩变换，其实质是坐标变换公式的应用．解题过程中要分清新旧坐标，将其代入对应的直线方程，然后比较系数即可．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解析：设变换为x′＝λ·x，λ0，y′＝μ·y，μ0，代入第二个方程，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即x′＝x，y′＝4y，也就是说，直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.【变式训练】1.在同一坐标系下，经过伸缩变换x′＝3xy′＝2y后，圆的方程x2＋y2＝1变成了什么曲线？解析：伸缩变换x′＝3x，y′＝2y可以化为x＝13x′，y＝12y′，代入圆的方程x2＋y2＝1，得13x′2＋12y′2＝1，即x′29＋y′24＝1，所以经过伸缩变换x′＝3x，y′＝2y后，圆的方程x2＋y2＝1可以变为x′29＋y′24＝1，是一个椭圆的方程．极坐标与直角坐标的互化直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．(2010·江苏)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a|32＋42＝1，解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.【变式训练】2.在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是y＝sinα＋1x＝cosα(α是参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________．解析：由题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsinθ＝0，化简得ρ＝2sinθ.答案：ρ＝2sinθ求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程．(2009·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解析：(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为2，0，N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．【变式训练】3.求经过极点O(0,0)，A6，π2，B62，9π4三点的圆的极坐标方程．解析：将点的极坐标化为直角坐标，点O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为32，圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18，即x2＋y2－6x－6y＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cosθ＋sinθ)＝0，即ρ＝62cosθ－π4.练规范、练技能、练速度