生物统计学教案(9)

78生物统计学教案第九章两因素及多因素方差分析教学时间：5学时教学方法：课堂板书讲授教学目的：重点掌握固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤,掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。。讲授难点：固定模型、随机模型两因素方差分析的方法步骤9.1两因素方差分析中的一些基本概念9.1.1模型类型交叉分组设计：A因素的a个水平和B因素的b个水平交叉配合，共构成ab个组合，每一组合重复n次，全部实验共有abn次。固定模型：A、B两因素均为固定因素。随机模型：A、B两因素均为随机因素。混合模型：A、B两因素中，一个是固定因素，一个是随机因素。9.1.2主效应和交互作用主效应：由于因素水平的改变所造成的因素效应的改变。A1A2A1A2B11824B11828B23844B23022先看左边的表。A因素的主效应应为A2水平的平均效应减A1水平的平均效应，B的主效应类似。当A1B1＋A2B2＝A1B2＋A2B1时，A、B间不存在交互作用。这里A1B1＋A2B2＝62，A1B2＋A2B1＝62，因此A、B间不存在交互作用。交互作用：若一个因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，则它们之间存在交互作用。2022418244382262361824424221211222121112212BABABABABBABABABAA79现在看右边的表。A（在B1水平上）＝A2B1－A1B1＝28－18＝10A（在B2水平上）＝A2B2－A1B2＝22－30＝－8显然A的效应依B的水平不同而不同，故A、B间存在交互作用。交互作用的大小为AB＝（A1B1＋A2B2）－（A1B2＋A2B1）9.1.3两因素交叉分组实验设计的一般格式假设A因素有a水平，B因素有b水平，则每一次重复包含ab次实验，实验重复n次，总的实验次数为abn次。以xilk表示A因素第i水平，B因素第j水平和第k次重复的观测值。一般格式见下表。因素Bj=1,2,…,bB1B2…Bb总计A1x111x121x1b1x112x122x1b2x11nx12nx1bnx1..因素A2x211x221x2b1Ax212x222x2b2x21nx22nx2bnx2..Aaxa11xa21xab1xa12xa22xab2xa1nxa2nxabnxa..总计x.1.x.2.x.b.x...80上表中的各种符号说明如下：ixA因素第i水平的所有观察值的和，其平均数为..ix..jxB因素第j水平所有观察值的和，其平均数为..jx.ijxA因素第i水平和B因素的第j水平和所有观察值的和，其平均数为.ijx...x所有观察值的总和，其平均数为...x关于实验重复的正确理解：这里的“重复”是指重复实验，而不是重复观测。9.2固定模型9.2.1线性统计模型对于固定模型，处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此交互作用的效应也是固定的εijk是相互独立且服从N(0,σ2)的随机变量。固定模型方差分析的零假设为：abnxxxxbjainxxxxaibjnkijkijijnkijkij,,,2,1,,2,1,,1111nkbjaixijkijjiijk,,2,1,,2,1,,2,1bjjaii110,0aibjijij110,0bjaiHHHijba,,2,1,,2,10:0:0:0321022101819.2.2平方和与自由度的分解与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。上述各项分别为A因素、B因素、AB交互作用和误差平方和，即：自由度可做相应的分解：由此得出各因素的均方：9.2.3均方期望与统计量F的确定aibjnkijijkaibjaibjjiijjiaibjnkijijkjiijjiaibjnkijkxxxxxxnxxanxxbnxxxxxxxxxxxx1112111122211121112aibjnkijijkeaibjjiijABbjjBaiiAxxSSxxxxnSSxxanSSxxbnSS11121121212111111nabdfbadfbdfadfabndfeABBAT1,11,1,1nabSSMSbaSSMSbSSMSaSSMSeeABABBBAA21122122122,111,1eaibjijABbjjBaiiAMSEbanMSEbanMSEabnMSE82对上式E(MSA)、E(MSB)和E(MSe)中的第二项，分别记为：于是：这时，零假设还可以写为：用F作为检验统计量，以对A因素的检验为例：当FFα时拒绝H01。对B因素和AB交互作用的推断类似。两因素固定模型的方差分析表如下：9.2.4平方和的简易计算法为了简化计算过程，实际计算时各平方和是按以下各式计算的其中abnx2称为校正项，用C表示。变差来源平方和自由度均方F均方期望A因素SSAa-1MSAMSA/MSeσ2+bnηα2B因素SSBb-1MSBMSB/MSeσ2+anηβ2AB交互作用SSAB(a-1)(b-1)MSABMSAB/MSeσ2+nηαβ2误差SSeab(n-1)MSeσ2总和SSTabn-1aibjijbjjaiibaba1122122122111,11,11222222,,nMSEanMSEbnMSEABBA0:,0:,0:203202201HHH222AebnMSFMS的估计的估计abnxxanSSabnxxbnSSabnxxSSbjjBaiiAaibjnkijkT212212111221,183不论从上式还是前面给出的误差平方和的公式，都可以看出，平方和是通过重复间平方和得到的。为了得到误差平方和，必须设置重复。由总平方和减去A因素、B因素和误差平方和之后，所得残余项即交互作用平方和。如果不设置重复，无法得到误差平方和，其误差平方和是用残余项估计的。即使实验存在交互作用也无法独立获得，这时的交互作用与误差混杂。这一点在设计实验时一定要特别注意。交互平方和：例为了从三种不同原料和三种不同发酵温度中，选出最适宜的条件，设计了一个两因素试验，并得到以下结果。在这个实验中，温度和原料都是固定因素，每一处理都有4次重复。将每一数据都减去30，列成表9-1。原料(A)温度(B)xij1xij2xij3xij4xij.xij.2412kijkx301119-7-518324556135-19-17-5-6-47220971140-24-8-4-12-48230480030172920107657761630235138363090027840-22-8-12-16-583364948原料种类123温30℃35℃度40℃4149232547595040433553501113252443383336553847446222618822181430332619aibjnkaibjijijkexnxSS11111221aibjBAijeBATABSSSSabnxxnSSSSSSSSSS11221843013523206137211123335258171464409611744003-4-11-12144146和84228387366利用xij.列，列成表9－2温度(B)303540xi..xi..2原118－47－48－775929料27630－58482304(A)36154－1211312769x.j.15547－1188421022x.j.22402522091392440158从表9－1中可以计算出：及由表9－2中可以计算出：00.196433842abnxC00.7170196736611122aibjnkijkTabnxxSS50.16562283841736611111122aibjnkaibjijijkexnxSS17.1554196210224311212abnxxbnSSaiiA58.3150196401584311212abnxxanSSbjjB75.80850.165658.315017.155400.7170eBATABSSSSAASSSS85列成方差分析表变差来源平方和自由度均方F原料A1554.172777.0912.67**温度B3150.5821575.2925.68**AB808.754202.193.30*误差1656.502761.35总和7170.00359.2.5无重复实验时的两因素方差分析如果根据一定的理由，可以判断两因素间确实不存在交互作用，这时也可以不设重复（n=1）。无重复实验的方差分析，只需将前一节公式中所有的n都改为1，即可完成计算。不同点只是计算更容易一些。这里不再详述。9.3随机模型9.3.1线性统计模型对于随机模型：因此，任何观察值的方差2222varijkx零假设为：0:,0:,0:203202201HHH9.3.2均方期望与统计量F的确定nkbjaixijkijjiijk,,2,1,,2,1,,2,12222,0:,,0:,,0:,,0:NIDNIDNIDNIDijkijji86随机模型中各平方和的计算与固定模型一样，这里不再重复。但均方期望不同，因此检验统计量也不同。从均方期望中可以看出，交互作用均方是用误差均方检验的，若MSAB不显著，表明它也是误差的估计，应与MSe合并，用合并后的均方对主效应做检验。合并的方法是eABeABedfdfSSSSMS'若交互作用显著，则可以直接用它检验主效应。随机模型的方差分析表如下：随机模型的方差分析表如下：变差来源平方和自由度均方F均方期望A因素SSAa-1MSAMSA/MSAB222bnnB因素SSBb-1MSBMSB/MSAB222annA×BSSAB(a-1)(b-1)MSABMSAB/MSe22n误差SSeab(n-1)MSe总和SSTabn-1例为了研究不同地块中，施用不同数量的农家肥对作物产量的影响，设计一个两因素实验，实验结果如下：地块B一号地二号地三号地施肥量A100Kg8.698.478.808.749.499.37200Kg8.888.729.689.549.399.59300Kg10.8210.8611.0010.9211.0711.01400Kg11.1611.4210.9711.1311.0010.90222222222