第6章 状态变量分析法

通信与信息基础教学部0第6章状态变量分析法输入—输出描述法（端口分析法/外部法）强调用系统的输入、输出变量之间的关系来描述系统的特性。一旦系统的数学模型建立以后，就不再关心系统内部的情况，而只考虑系统的时间特性和频率特性对输出物理量的影响。这种分析法对于信号与系统基本理论的掌握，对于较为简单系统的分析是适合的。其相应的数学模型是n阶微分或差分方程。通信与信息基础教学部1第6章状态变量分析法状态变量描述法（内部法）随着系统的复杂化，往往要遇到非线性、时变、多输入、多输出系统的情况。此外，在许多情况下在研究其外部特性的同时，还需要研究与系统内部有关的问题，如复杂系统的稳定性分析、最佳控制、最优设计等等。这时，就需要采用以系统内部变量为基础的状态变量描述法（这是一种内部法）。它用状态变量描述系统内部变量的特性，并通过状态变量将系统的输入和输出变量联系起来，用于描述系统的外部特性。通信与信息基础教学部2第6章状态变量分析法状态变量描述法的主要优点（1）可以有效地提供系统内部的信息，使人们较为容易地处理那些与系统内部情况有关的分析、设计问题；（2）不仅适用于线性时不变系统的单输入—单输出系统特性的描述，也适用于非线性、时变、多输入、多输出系统特性的描述；（3）便于应用计算机技术解决复杂系统的分析计算。通信与信息基础教学部3第6章状态变量分析法状态与状态空间连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的解离散系统状态变量分析系统的可控制性和可观测性通信与信息基础教学部46.1状态、状态变量与动态方程(1)12()()从本质上说，系统的状态是指系统的储能状况。状态可理解为事物的某种特性。状态发生变化意味着事物有了发展和改变，所以，状态是研究事物的一类依据。系统的状态就是系统的过去、现在和将来的状况。用状态变量实质上反映了系统内部储来描述系统状态的数目最少的一组变量。显然，状态变量能状状态态的变化。—状态变量、、常用、通—nxtxtx01020000000()()())(来表示。起始时刻时的一组取值、、、表示了系统在时的状态，称为，它反映了以前系统的工作情况，并以储能的方式表现出来的结果。而时输入和初始状态一旦确定，这组状态变量便可以完全惟一的确定系统任意时刻的运动状态，从而确定时系统的响应。状态初始nttxtxtxtttttttttttt“完全”表示反映了系统的全部状况，“最少”表示确定系统的状态没有多余上述所谓的信息。通信与信息基础教学部5状态与状态空间(2)1212()()()()()()()()())(能够完全描述一个系统行为的个状态变量，可以看成一个矢量的各个分量的坐标，此时矢量称为状态矢量，并可写成矩阵的形式状态矢量所状态矢量—状态空间或，，在的空间称为，—状nnxtxtxtxtxtxtxtxtnxtxt态空间。状态矢量所包含的状态变量的个数就是状态空间的，也称，简称。在状态空间中，系统在任意时刻的状态都可以用状态空间中的一点（端点）来表示。状态矢量的端点维数系统的复杂随时间变化而描度阶数系统的阶述的路径，称为状态轨迹数—状态轨迹。通信与信息基础教学部6状态与状态空间(3)状态变量分析法的一般步骤用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时，一般分两步进行：一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；二是利用系统的初始条件求取状态方程和输出方程的解。通信与信息基础教学部7状态与状态空间(4)动态独立变量（系统复杂度的阶数n）最习惯选取的状态是电感的电流和电容的电压，因为它们直接与系统的储能状态相联系。LCCLnbnnLCCL：电路中储能元件的个数：仅有电容（或电压源）组成的独立回路（/全电容回路）的总数：仅有电感（或电流源）组成的独立割集（/全电感割集）的总数bnn通信与信息基础教学部8连续系统状态方程的一般形式(1)连续系统的状态方程是状态变量的一阶微分方程组•111212•221212•12P32217()()()()()()()()()()()()()()()()()nmnmnnxtgxtxtxtftftftxtgxtxtxtftftftxtgxtxt：式6，，，，，，，，，，，，12()()()()nmxtftftft，，，12•12()()()()()(1,2,)()()()其中：，，，为系统的个状态变量；是状态变量的一阶导数；，，，为系统的个输入信号；niimxtxtxtndxtxtindtftftftm通信与信息基础教学部9连续系统状态方程的一般形式(2)连续系统的输出方程是状态变量的代数方程组11121222121212P32218()()()()()()()()()()()()()()()()()nmnmrrnytwxtxtxtftftftytwxtxtxtftftftytwxtxtx：式6，，，，，，，，，，，，12()()()()mtftftft，，，121212()()()()()()()()()其中：，，，为系统的个状态变量；，，，为系统的个输入信号；，，，为系统的个输出信号；nmrxtxtxtnftftftmytytytr通信与信息基础教学部10连续系统状态方程的一般形式(3)线性时不变系统：状态方程和输出方程均为状态变量和输入信号的线性组合。•111112211111221•221122222112222P32217()()()()()()()()()()()()()()nnmmnnmmxtaxtaxtaxtbftbftbftxtaxtaxtaxtbftbftbft：式6•1122112211111221111122122112222211()()()()()()()P32218()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnnmmnnmmnnxtaxtaxtaxtbftbftbftytcxtcxtcxtdftdftdftytcxtcxtcxtdft：式6222211221122()()()()()()()()()mmrrrrnnrrrmmdftdftytcxtcxtcxtdftdftdft通信与信息基础教学部11连续系统状态方程的一般形式(4)状态方程、输出方程（P323）111222111211112121222212221212111212122，，，nmrnmnmnnnnnnnmnxfyxfyxfyxfyaaabbbaaabbbABaaabbbccccccC111212212221212，mnmrrrnnnrmddddddDcccdddxAxBfyCxDf：系统矩阵：控制矩阵：输出矩阵：系数矩阵ABCD通信与信息基础教学部12连续系统状态方程的一般形式(5)状态模型方框图（P323）xAxBfyCxDftDtAtBtCtetrtλ通信与信息基础教学部13离散系统状态方程的一般形式(1)线性时不变离散系统的状态方程是状态变量和输入序列的一阶线性常系数差分方程组111112211111221221122222112222(1)()()()()()()(1)()()()()()()nnmmnnmmxkaxkaxkaxkbfkbfkbfkxkaxkaxkaxkbfkbfkbfk11221122(1)()()()()()()nnnnnnnnnmmxkaxkaxkaxkbfkbfkbfk111211112111121222212222221212(1)()()(1)()()+(1)()()nmnmnnrnnnnnnnmaaabbbxkxkykaaabbbxkxkykxkxkykaaabbb(1)()()xkAxkBfkABCD：系统矩阵：控制矩阵：输出矩阵：系数矩阵通信与信息基础教学部14离散系统状态方程的一般形式(1)线性时不变离散系统的输出方程是状态变量和输入序列的代数方程组111112211111221221122222112222()()()()()()()()()()()()()()nnmmnnmmykcxkcxkcxkdfkdfkdfkykcxkcxkcxkdfkdfkdfk11221122()()()()()()()rrrrnnrrrmmykcxkcxkvxkdfkdfkdfk111211112111121222212222221212()()()()()()+()()()nmnmnmrrrrnnnrmcccdddxkfkykcccdddxkfkykxkfkykcccddd()()()ykCxkDfkABCD：系统矩阵：控制矩阵：输出矩阵：系数矩阵通信与信息基础教学部156.2.1连续系统动态方程的建立1由电路图建立状态方程2从输入—输出方程导出状态方程3从模拟图建立状态方程直接法：依据给定系统结构直接编写出电路的状态方程。该方法直观，有很强的规律性，特别适用于电网络的分析计算。间接法：常利用系统的输入—输出方程、系统模拟图或信号流图编写状态方程。该方法适用于系统模拟和系统控制的分析设计。通信与信息基础教学部16由电路图建立状态方程(1)由电路直接建立状态方程的步骤CCLL(1)(2)CKCL(3)LKVL(4)(5)选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；对于电容应用写出该电容的电流与其它状态变量和输入变量的关系式；对于电感应用写出该电感的电压与其它状态变量和输入变量的关系式；消除非状态变量（称为中间变量）；整理成状态方程和输出方程的标准形式。dviCdtdivLdt通信与信息基础教学部17由电路图建立状态方程(2)例：如图所示，试列写该系统的状态方程和输出方程。解：CL()()(1)：和选择状态变量vtitKCL(2)KVL电容列写基本方程电感()KCL()()()()CSCLLdvtitititCitdt()()KVL()()CLCCLLdvtditvtRCLRitdtdt通信与信息基础教学部18由电路图建立状态方程(3)()KCL()()()()()()KVL()()CSCLLCLCCLLdvtitititCitdtdvtditvtRCLRitdtdt(3)/整理写成标准形式()11()()()1()()()CLSCLCLCLSdvtititdtCCRRRditvtititdtLLL()()()()()()()CCLCSCLSvtvtRitRitititit状态方程输出方程通信与信息基础教学部19由电路图建立状态方程(4)()11()()()1()()()CLSCLCLCLSdvtititdtCCRRRditvtititdtLLL()()()()()()()CCLCSCLSvtvtRitRitititit1212()()()()()()()()()()令：