正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容=_______=_______=2R(R是△ABC外接圆的半径)在△ABC中，有a2=________________;b2=________________；c2=________________bsinBasinAcsinCb2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosC定理正弦定理余弦定理变形公式①a=________,b=________,c=_________；②sinA∶sinB∶sinC=________；③sinA=sinB=____,sinC=____；④cosA=__________;cosB=___________;cosC=___________222bca2bc222acb2ac222abc2ab2RsinA2RsinB2RsinCa∶b∶ca,2Rb2Rc2RabcsinAsinBsinCabcsinAsinBsinC定理正弦定理余弦定理解决的问题①已知两角和任一边，求其他边和角②已知两边和其中一边的对角，求其他边和角①已知三边,求各角②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他角判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在△ABC中，A＞B必有sinA＞sinB.()(2)正弦定理对钝角三角形不成立.()(3)在△ABC中共有三个角、三个边六个量，可以已知三个量求另外三个量.()(4)余弦定理对任何三角形均成立.()(5)正弦定理可以实现边角互化，但余弦定理不可以.()【解析】(1)正确.∵A＞B,∴a＞b,由正弦定理可得又sinB＞0,∴sinA＞sinB.(2)错误.正弦定理对任意三角形均成立.(3)错误.当已知三个角时不能求三边.a1,b＞asinA1.bsinB＞(4)正确.由余弦定理推导过程可知对任意三角形均适用.(5)错误.余弦定理可以实现角化边，也能实现边化角.答案:(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×1.在△ABC中，a=3,A=30°,B=60°，则b等于()【解析】选A.由正弦定理得3A33B3CD23233asinB3sin602b33.1sinAsin3022.在△ABC中，a=4,C=30°，则边c等于()【解析】选B.由余弦定理得b23,A3B2C23D32223cab2abcosC161224234,c2.23.△ABC满足acosB=bcosA，则△ABC的形状为()(A)直角三角形(B)等边三角形(C)等腰三角形(D)等腰直角三角形【解析】选C.由acosB=bcosA及正弦定理得，sinAcosB=sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=0,故sin(A-B)=0.∵A,B为△ABC的内角，∴A-B=0，∴A=B,所以△ABC是等腰三角形.4.在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝____.【解析】A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶答案:1∶1∶3.35.在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A等于_____.【解析】由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝又∵0＜A＜π，答案:222bca12bc2＋－＝－，2A.3＝23考向1正弦定理的应用【典例1】(1)(2013·唐山模拟)在△ABC中,A=a=1,b=则B=()(2)(2013·惠阳模拟)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=A+C=2B，则sinC等于(),62，3AB4435CD4466或或133A1BCD2233，(3)(2013·岳阳模拟)如图,在△ABC中，点D在BC边上，①求sin∠ABD的值;②求BD的长.53AD33,sinBAD,cosADC.135【思路点拨】(1)利用正弦定理求解即可.(2)先由A+B+C=π及条件得B，再利用正弦定理得A，进而得sinC.(3)①利用∠ABD=∠ADC-∠BAD及两角差的正弦公式求解；②利用正弦定理求解.【规范解答】(1)选C.由正弦定理可得,12bsinA22sinB.a12530B,B.644又＜＜或(2)选A.由A+C=2B且A+B+C=π得∴sinC=1.31abasinB12sinA.sinAsinBb23ab,AB,A,CAB,62由得又＜＜B.3223(3)cosADC54sinADC1cosADC.55sinBAD1312cosBAD1sinBAD.13ABDADCBAD,①因为，所以因为，所以因为sinABDsin(ADCBAD)sinADCcosBADcosADCsinBAD4123533.51351365ABDBDAD,sinBADsinABD533ADsinBAD13BD25.33sinABD65所以②在中，由正弦定理，得所以【拓展提升】1.三角形解的情况已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAa=bsinAbsinAaba≥baba≤b解的情况无解一解两解一解一解无解2.解三角形中的常用公式和结论(1)A+B+C=π.(2)0＜A，B，C＜π，sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC.ABCCsinsincos222ABCCcoscossin222，，(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.【变式训练】1.(2013·青岛模拟)已知△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，，B=60°，则A=()(A)135°(B)45°(C)135°或45°(D)90°【解析】选B.依题意，由正弦定理得，解得sinA=，又b＞a，∴A=45°.a2b3，absinAsinB23sinAsin60，222.(2013·莆田模拟)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b=2，B=且csinA=acosC，则△ABC的面积为______.33【解析】∵c·sinA=a·cosC,由正弦定理得：sinC·sinA=sinA·cosC，∵sinA≠0,∴sinC=cosC,∴tanC=.又∵△ABC是锐角三角形，∴A=B=C=，a=b=c=2,∴S△ABC=答案：3333B,3313223.223考向2余弦定理的应用【典例2】(1)(2013·台州模拟)在△ABC中，(2a-c)cosB=bcosC,则角B等于()(2)(2013·济南模拟)已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，则cosC等于()5ABCD643121111ABCD4433(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足则边a=()A25cos,ABAC3bc6,25，A22B23C25D4【思路点拨】(1)利用余弦定理代入整理转化可求.(2)利用已知条件及正弦定理得a,b,c的关系，再利用余弦定理可求.(3)利用已知可得cosA及b，c的值，从而利用余弦定理可求a.【规范解答】(1)选C.由(2a-c)cosB=bcosC得222222222222acbabc2acb2ac2abacb1acbac,cosB,2ac20B,B.3，得又＜＜(2)选B.由sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4,a∶b∶c=3∶2∶4.故设a=3k,则b=2k,c=4k,abcsinA,sinB,sinC2R2R2R及得222222abc9k4k16k1cosC.2ab23k2k4故由bc=5，且b+c=6，解得A2533C.coscosA,255ABAC3,bccosA3bc5.选因为，所以由得，所以222b5b1,c1c5.abc2bccosA20,a25.，或，由余弦定理得故【互动探究】若将本例题(3)中的【解析】ABAC3bc6“，”BBbsincosa?224改为“”，如何求A2534coscosAsinA.2555由得，故BBbBBsincosb4sincos2sinB,22422bab482,,a2.sinBsinAsinB55又由得故即【拓展提升】正、余弦定理的相互转化正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化.如a2=b2+c2-2bccosA可以转化为sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，利用这些变形可进行等式的化简与证明.【变式备选】在△ABC中，a,b，c分别是角A，B，C的对边，且(1)求角B的大小.(2)若求a,c的值.cosBb.cosC2acb13ac4，，【解析】(1)由余弦定理知：222222222222222222acbabccosB,cosC.2ac2abcosBbcosC2acacb2abb,2ac2acabcacbac.acbac1cosB.2ac2ac22B,B.3将上式代入得：整理得：为三角形的内角2222222b13ac4,Bbac2accosB,3bac2ac2accosB,113162ac(1),ac3.2ac4a1a3ac3c3c1.a1,c3a3,c1.将，代入得，，，由得或故或考向3利用正、余弦定理判断三角形的形状【典例3】(1)(2013·哈尔滨模拟)在△ABC中，若sinA=2sinBcosC，则△ABC是()(A)锐角三角形(B)等腰三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.①求A的大小；②若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状.【思路点拨】(1)将sinA转化为sin(B+C)展开可求.(2)①利用正弦定理角化边转化，再结合余弦定理可解；②利用C=π-(A+B)转化为关于角B的关系式求解角B可判断.【规范解答】(1)选B.由sinA=sin(B+C)得sin(B+C)=2sinBcosC，即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,即sinBcosC-cosBsinC=0,得sin(B-C)=0.又B，C为△ABC的内角,故B-C=0，即B=C，故△ABC为等腰三角形.(2)①由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，故cosA=A=120°.②由①得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.又sinB+sinC=1，得sinB=sinC=因为0°B90°,0°C90°,故B=C=30°,所以△ABC是等