必修四三角函数的图象与性质讲义

11.4—1.5三角函数的图象与性质一、正弦函数的图象与性质1、利用描点法作函数图象(列表、描点、连线)自变量x232202322函数值sinx010101010注意：（1）由于sin(2k＋)＝sin，因此作正弦函数图象时，我们经常采用“五点法”：．．．．．．(0．．，．0)．．，．(．2，．1)．．，．(．，．0)．．，．(．23，－．．1)．．，．(2．．，．0)．．；．再通过向左、右平移(每次2个单位)，即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。二、余弦函数的图象1、余弦函数的图象：y＝cosx＝sin(x＋2)可将正弦函数y＝sinx向左平移2个单位得到。2、“五点作图法”：(0．．，．1．)．，．(．2，．0．)．，．(．，－．．1．)．，．(．23，．0．)．，．(2．．，．1．)．––222525Oxy112三、正、余弦函数的性质f(x)＝sinxh(x)＝cosxf(x)＝sinxh(x)＝cosx定义域RR值域[－1，1]当x＝2k＋2时，f(x)max＝1当x＝2k－2时，f(x)min＝－1[－1，1]当x＝2k时，f(x)max＝1当x＝2k＋时，f(x)min＝－1单调区间[2k－2，2k＋2]单增[2k＋2，2k＋23]单减[2k，2k＋]单减[2k＋，2k＋2]单增对称轴x＝k＋2x＝k对称中心(k，0)(k＋2，0)周期性sin(2k＋)＝sincos(2k＋)＝cos最小正周期为2奇偶性sin(－)＝－sin奇函数cos(－)＝cos例1：求下列函数的定义域。（1）f(x)＝xsin（2）f(x)＝21cosx3变式练习1：求下列函数的定义域（1）f(x)＝lg(sinx)（2）f(x)＝3cos7cos2xx（3）f(x)＝1sinsin22xx变式练习2：已知cosx＝－21，且x∈[0，2]，则角x等于()A：32或34B：32或31C：65或61D：65或611【解析】A变式练习3：当x∈时[0，2]，满足sin(2－x)≥－21的x的取值范围是()A：[0，32]B：[34，2]C：[0，32]∪[34，2]D：[32，34]【解析】C例2：下列函数图象相同的是()A：y＝sinx与y＝sin(x＋)B：y＝cosx与y＝sin(2－x)C：y＝sinx与y＝sin(－x)D：y＝－sin(2＋x)与y＝sinx【解析】B变式练习1：y＝1＋sinx，x∈[0，2]的图象与直线y＝2交点的个数是()A：0B：1C：2D：3解析B变式练习2：函数y＝sin(－x)，x∈[0，2]的简图是()【解析】B变式练习3：.函数y＝2sinx与函数y＝x图象的交点________个。【解析】在同一坐标系中作出函数y＝2sinx与y＝x的图象可见有3个交点。3个变式练习4：.若函数y＝2cosx(0≤x≤2)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为___________。【解析】：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cosx的图象与直线y＝2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积。4因为|OA|＝2，|OC|＝2π，所以S矩形OABC＝2×2π＝4π.故所求封闭图形的面积为4π.四、正切函数的图象与性质【三点两线】定义域：x≠k＋2k∈Z值域：R周期性：最小正周期T＝单调递增区间：(k－2，k＋2)奇偶性：tan(－x)＝－tanx奇函数对称中心：(2k，0)例3：求函数f(x)＝tan(2x－3)的定义域，最小正周期、单调区间以及对称中心。例4：若直线l过点M(2，2)且与以点P(－2，－3)、Q(1，0)为端点的线段恒相交，则直线l的斜率的范围是_________。【解析】：45≤k≤2变式练习：若直线l过点M(0，2)且与以点P(－2，－3)、Q(1，0)为端点的线段恒相交，则直线l的斜率的范围是_________。【解析】：k≤－2，k≥25五、函数y＝sin(x＋)的图象与性质（一）由y＝sinx的图象通过变换法作y＝Asin(x＋)的图象1、先平移后伸缩：y＝sinx个单位得到时向右）平移时向左，（00y＝sin(x＋)倍得到伸长）到原来的时缩短（1101y＝sin(x＋)5倍得到缩短）到原来的时伸长（AAA101y＝Asin(x＋)2、先伸缩后平移：y＝sinx倍得到伸长）到原来的时缩短（1101y＝sinx个单位得到时向右）平移时向左，（00y＝sin[(x＋)]倍得到缩短）到原来的时伸长（AAA101y＝Asin(x＋)例5：把函数y＝sin(2x＋4)的图象向右平移8个单位，再把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数解析式为（）A：y＝sin(4x＋83)B：y＝sin(4x＋8)C：y＝sin4xD：y＝21sin2x【解析】：D变式练习1：将函数y＝sin(x＋4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A：y＝cos2xB：y＝sin(2x＋4)C：y＝sin(21x＋8)D：y＝sin(21x＋4)【解析】：选D变式练习2：已知函数f(x)＝sin(x＋3)（＞0）的最小正周期为，则函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x的图象()A：向左平移6个单位长度B：向右平移6个单位长度C：向左平移3个单位长度D：向右平移3个单位长度【解析】选A变式练习3：要得到函数y＝2cos(2x－6)的图象，只要将函数y＝2cos2x的图象()A：向左平行移动6个单位长度B：向右平行移动6个单位长度C：向左平行移动12个单位长度D：向右平行移动12个单位长度【解析】选D变式练习4：要得到函数y＝sin(2x－3)的图象，只需将函数y＝－cos(2x－)的图象()A：向左平移6个单位长度B：向左平移125个单位长度6C.向右平移125个单位长度D：向右平移3个单位长度【解析】选C.由于y＝－cos(2x－π)＝cos2x＝sin＝sin2，y＝sin＝sin2＝sin2.故只需将函数y＝－cos(2x－π)的图象向右平移π个单位长度得到函数y＝sin的图象.五、有关函数y＝Asin(x＋)的性质1、定义域为R2、值域为[－A，A]3、最小正周期T＝24、当＝k时，函数y＝Asin(x＋)为奇函数；当＝k＋2函数是偶函数。5、对于函数y＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)的单调区间，把x＋看成整体2k－2≤x＋≤2k＋2，解出x的范围为函数的单调递增区间2k＋2≤x＋≤2k＋23，解出x的范围为函数的单调递减区间6、函数y＝Asin(x＋)的对称轴x＋＝k＋2，解出x求得；对称中心x＋＝k，解出x求得。例6：指出函数y＝3sin(2x－3)的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对称中心。变式练习1：函数f(x)＝3sin(x＋6)在下列区间内递减的是()A：[－21，21]B：[0，21]C：[－32，32]D：[21，32]【解析】:令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)的递减区间为，k∈Z.从而可判断，答案:D7变式练习2：设函数f(x)＝sin(2x－21)，x∈R，则f(x)是()A：最小正周期为的奇函数B：最小正周期为的偶函数C：最小正周期为21的奇函数D：最小正周期为21的偶函数【解析】:因为f(x)＝sin＝-cos2x，所以f(-x)＝-cos2(-x)＝-cos2x＝f(x)，所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案:B例7：若函数)2sin(3)(xxf的图象关于直线32x对称，那么︱︱的最小值为（）A：12B：6C：4D：3【解析】：B例8：函数f(x)＝Asin(x＋)（A＞0，＞0，︱︱＜2）的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（）A：f(x)＝2sin(x－6)B：f(x)＝2sin(2x－3)C：f(x)＝2sin(x＋12)D：f(x)＝2sin(2x－6)【解析】：B变式练习1：已知cos＝－54，且∈(2，)，函数f(x)＝sin(x＋)（＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2，则f(8)的值为（）。A：102B：－102C：1027D：－1027【解析】：B变式练习2：已知函数f(x)＝sin(x＋)（＞0，︱︱＜2）的部分图象如图，则＝_______。【解析】：6变式练习3：已知函数f(x)＝sin(x＋)（＞0）的图象如右图如示，则f(4)＝______。8【解析】：22变式练习4：函数f(x)＝sin(x＋)，（︱︱＜2）的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为（）A：（－1＋4k，1＋4k），k∈ZB：（－3＋8k，1＋8k），k∈ZC：（－1＋4k，1＋4k），k∈ZD：（－3＋8k，1＋8k），k∈Z【解析】：【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx＋φ），（|φ|＜）的部分图象，可得＝3﹣1＝2，求得ω＝，再根据五点法作图可得•1＋φ＝，∴φ＝，∴f（x）＝sin（x＋）．令2kπ﹣≤x＋≤2kπ＋，求得8k﹣3≤x≤8k＋1，故函数的增区间为[﹣3＋8k，1＋8k]，k∈Z，故选：D．例9：已知函数f(x)＝2sin(2x－4)（1）求函数f(x)的最小正周期。（2）求函数f(x)的单调递增区间以及对称中心。（3）求函数f(x)在区间[8，43]上的最大值和最小值。变式练习1：已知函数f(x)＝sin(x＋)（其中＞0，||＜2），若函数y＝f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为2，且直线x＝6是函数y＝f(x)图象的一条对称轴.（1）求的值；（2）求y＝f(x)的单调递增区间；（3）若x∈[－6，3]，求y＝f(x)的值域。【解析】：(1)因为函数y＝f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期T＝π，所以ω＝＝2.(2)因为直线x＝是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以92×＋φ＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|，所以φ＝.所以函数的解析式是y＝sin.令2x＋，k∈Z，解得x∈，k∈Z.所以函数的单调递增区间为，k∈Z.(3)因为x∈，所以2x＋.所以sin，即函数的值域为.变式练习2：设函数f(x)＝sin(2x＋)（－＜＜0），已知它的一条对称轴是直线x＝8。（1）求；（2）求函数f(x)的单调递减区间；（3）求函数的对称中心；（4）当x∈[8，85]函数f(x)的取值范围。【解析】(1)函数的一条对称轴是直线x＝，2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，因为-πφ0，所以φ＝-.(2)由(1)知，f(x)＝sin，＋2kπ≤2x-≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).变式练习3：设函数f(x)＝tan(x21－3)。（1）求函数f(x)的定义域、周期和单调区间；（2）求不等式－1≤f(x)≤3的解集。【解】:(1)由+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ,∴f(x)的定义域是.∵ω＝,∴周期T＝＝2π.10由-+kπ+kπ(k∈Z