初中常见动点问题解题方法

初中常见动点问题解题方法唐江红旗学校张远强引言以运动的观点探究几何图形部分规律的问题，称之为动态几何问题.动态几何问题充分体现了数学中的“变”与“不变”的和谐统一，其特点是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按一定的规律运动变化，从而又引起了其它一些元素的数量、位置关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依存，具有一定的规律可寻.常见的动点问题一、求最值问题二、动点构成特殊图形问题一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。一、求最值问题例、如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是______一个动点特点：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上确定一动点的位置，使动点与两定点线段和最小，求出最小值。思路：解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。32p练习1、如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B.22.5°C.30°D.45°2、如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为_________3、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=60°，P是OB上的一动点，则PA+PC的最小值是________两个动点（一）特点：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最小。思路：这类问题通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是__________。RQPOBA''P'PEF例、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是__________。解析：'P''P连接与OB，OA的交点即为R、Q过OB作P的对称点'P连接O'P，O''P''P过OA作P的对称点90°'P''P∴△PQR周长的最小值==210O'P=O''POP='P''P由对称性知：PR+PQ+RQ='P''P∠O==10｛练习1.如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（）A．30°B.45°C.60°D.90°2.如图，∠AOB=30°，内有一点P且OP=2，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（）A．2√6B.6C.√6/2D.√6两个动点（二）特点：两动点在两条直线上，定点和其中一个动点共线，求不共线动点分别到定点和另一动点的距离和最小值。思路：（1）利用轴对称变换，使不共线动点在另一动点的对称点与定点的连线段上（两点之间线段最短）例、如图，在锐角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是________（2）这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例、如图，在锐角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是________CDMBNA'NCBD'NMNA解析：作点N关于AD的对称点'N此时BM＋MN＝BM＋M'N要使BM＋M'N最小则要满足：①B，M，三点共线'NBM+MN的最小值＝B=AB∴÷４②B垂直于AC'N'N练习1.如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是____________2.在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分线BC于D，M、N分别是AD与AB上动点，则BM+MN的最小值是_________．小结以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。如何实现“搬点移线”（1）确定被“搬”的点（2）确定被“移”的线二、动点构成特殊图形问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。ABCD如图：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，点P从点A出发，沿着AD的方向向终点D以每秒一个单位的速度运动，当点P在AD上运动时，设运动时间为t，求当t为何值时，四边形APCB为平行四边形.P问题导入ABCDP解析6t∵四边形APCB为平行四边形∴AP=6t=6动点构成特殊图形解题方法4、根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题2、先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意的图形———化动为静3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来1、把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的量如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.3例题讲解（1）求证：AE=DF解析：AEDFt2ttCB又∵AE=t，∴AE=DF。在△DFC中，∵∠DFC=90o，∠C=30o，DC=2t,∴DF=t30o1单位/s2单位/s530o3（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.AEDFt2ttCB解析：能，理由如下，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴四边形AEFD为平行四边形。由（1）知AE=DF∴AEDF在Rt△ABC中，设AB=x,则AC=2x,∵解得x=5,即AB=5,AC=10.∴若使平行四边形AEFD为菱形，则须AD=AE，即t=10-2t,t=即当t=时，四边形AEFD为菱形。30o1单位/s2单位/s530o331031010-2t222ABBCAC222532XX∴∥（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.AEDFt2tCB若∠EDF=90o时，则四边形EBFD为矩形30o10-2t解析在Rt△AED中，∵∠ADE=∠C=30o,∴AD=2AE即10-2t=2t,t=30o①当∠EDF=90o时1单位/s2单位/s530o3即10-2t=t（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.AEDFt2tCB②当∠DEF=90o时解析：由（2）知EF∥AD∴∠ADE=∠DEF=90o∵∠A=90o-∠C=60o∴AD=AE2121则t=410-2t30o60o1单位/s2单位/s530oF（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.③当∠EFD=90o时,此种情况不存在。解析：1单位/s2单位/s530o综上所述，当t=25或t=4时△DEF为直角三角形AEDCB30o在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。小结