29 变界面的广义的反射定律和折射定律

物理学报ActaPhys.Sin.Vol.62,No.10(2013)104201用于相位突变界面的广义的反射定律和折射定律*孙彦彦1)韩璐1)史晓玉1)王兆娜1)†刘大禾1)2)1)(北京师范大学,物理系应用光学北京市重点实验室,北京100875)2)(南昌航空大学,无损检测技术教育部重点实验室,南昌330063)(2012年11月12日收到;2013年1月11日收到修改稿)考虑到位于两物质界面上的Metasurface对光线传播行为的影响,从费马原理和边界条件连续两种角度出发,推导了可用于相位突变界面的广义反射与折射定律.该定律在界面对光波的相位改变量为零的情况下,回归为通常的反射定律和折射定律.利用广义的折射定律和反射定律讨论了介质折射率、界面上的相位梯度等因素对光传播行为的影响,发现利用广义的折射定律和反射定律很容易实现反常反射和反常折射行为,并给出了出现反常反射和反常折射的条件,以此为基础可以实现对光波的随意控制.依据广义的折射定律和反射定律分析了一维相位掩模板对光场传播行为的影响.关键词:超材料,相位突变界面,反射定律,折射定律PACS:42.25.Gy,42.79.Wc,78.68.+m,42.70.−aDOI:10.7498/aps.62.1042011引言折射定律和反射定律是几何光学的基础,具有非常重要的物理意义.通常,人们认为影响光传播的因素是介质,反射角和折射角的大小与光在这两种介质中传播的速度有关,而光在介质中的速度是由介质本身的光学属性决定的.也就是说,光的传播方式是由两种介质的光学属性影响和决定的,与它们中间的界面无关.这种处理问题的方式是以假设物质界面是一理想的不改变光波任何信息的边界为前提的.随着纳米加工技术的发展,出现了具有与传统材料不同的反常性质的超材料(metamaterial),通过对材料的关键物理尺度上的结构进行有序设计,从而突破某些表观自然规律的限制,获得超出自然界固有的普通性质的超常材料功能.现今的超材料有:“左手材料”,光子晶体,“超磁性材料”等[1−9].不同的超材料有不同的特殊性质,具有非常广阔的应用前景.其中,超界面(metasurface)是超材料应用的一个重要领域,它通过纳米尺度的人工操作,使界面具有与传统界面不同的新特性,利用超界面可以实现对光波的任意控制,具有重要的应用价值.科学家们已经利用超界面来实现对光波偏振态和波前的随意控制,超界面还可以实现完全透射[10]、增强天线辐射性能[11−14]、波长选择[15]、超吸收[16−20]等功能.利用超界面设计的光学器件具有轻薄的特点,在军事上具有重要的应用价值[21].随着超界面的发展与实现,各种超表面[10−17;21]被理论设计和实验实现.与理想的边界不同,metasurface可以改变光波的波前、相位和偏振态,这就使得光的传播不再遵循普通的反射与折射定律[22;23].因此,针对这种新兴metasurface界面,利用不同的方法推导广义的反射定律和折射定律就显得非常必要,有利于进一步理解光与metasurface的相互作用机制.本文基于费马原理和边界连续条件,通过两种方法推导了考虑界面上有相位突变的广义的反射和折射定律,探讨了光与metasurface的作用机制,讨论了一些相关因素对光传播的影响,给出了出现全透射和全反射的临界条件以及观察到负折射和负反射的条件,理论设计了*国家自然科学基金(批准号:11104016,11074024,61275130)和高等学校博士学科点专项科研基金(批准号:20100003120009)资助的课题.†通讯作者.E-mail:[e-mail]⃝2013中中中国国国物物物理理理学学学会会会ChinesePhysicalSociety(2013)104201一种由一维相位掩模板形成的metasurface,并给出了相应的简化的实验设计.2由费马原理推导广义的反射定律和折射定律费马原理与光的直线传播定律、反射定律和折射定律具有同等重要的意义,可以说后者是前者的必然结果,即由费马原理可推出光的直线传播定律、反射定律和折射定律.通常,光波的波前是可以利用透镜、棱镜、衍射元件如光栅和全息图等光学元件通过相位变化的逐渐累积而被调控的.变换光学提出以后[24;25],控制光波波前的思想得以更进一步的发展,各种控制和变换光波波前的新型的光学器件被设计出来,例如,利用超材料使光线反常弯曲,产生了负折射现象,实现了平面波和球面波的转换等.这些控制光波波前的方法是基于麦克斯韦方程组的坐标协变性和坐标变换的思想提出的.与此不同的是,研究者们在光路中引入波长尺度的相位突变可以产生新的控制波前的自由度,同时,光的传播符合费马原理[22;23].这样,我们就可以从费马原理出发推导出广义的折射和反射定律.费马原理是指在A;B两点之间光波沿着光程∫BAn(r)dr取极值的方向传播,其中n(r)是介质的折射率.光程对光波来说,体现的是相位的改变,因此,在一般形式中,费马原理可以理解为在实际光路中光波的相位变化取极值,即光波的相位变化函数的变分为0,记为∫BAdφ(r)=0.对于通常的理想界面,我们可以利用该公式导出常用的反射定律和折射定律.如果在两介质的界面上引入波长尺度的相位突变Φ(rs),Φ(rs)取决于界面上的坐标rs,则光波在不同路径上的总相位变化变为Φ(rs)+∫BAk·dr,其中第一项为由界面引起的相位突变,第二项为光波在传播路径上因光程的变化而引入的相位变化,rs是光在介质中的波矢.由费马原理可以知道,实际的光路中光波总相位变化应该取极值.这是适用于界面上有相位突变的广义的费马原理,利用它可以得到广义的反射定律与折射定律.在界面上引入相位突变Φ(rs),相位突变量是界面上的位置坐标的函数,表现为相位改变不固定.在假设沿着界面的相位变化率dΦ=dx为定值的条件下,由费马原理可以导出广义的菲涅耳折射定律[22]:ntsin(θt)−nisin(θi)=λ02dΦdx;(1)其中,θi为入射角,θt为折射角,ni和nt是入射介质和出射介质的折射率,λ0为真空中的波长.由(1)式可知,若提供合适的相位梯度dΦ=dx值则折射光束可以有任意的传播方向.这一修正的菲涅耳定律中非零的相位梯度使得入射角为±θi的光波有不同的折射角,入射角出现对称性被破坏.由(1)式可以看出,全反射的临界角为θtc=arcsin(±ntni−λ02nidΦdx):(2)由(2)式可以看出:当光波由光密介质射向光疏介质(即ntni)时,对于有相位突变的界面不仅存在全反射临界角,而且全反射临界角的数量和大小均与入射媒质和出射媒质的折射率nt和ni有关,还和入射光的波长λ0和界面上的相位变化梯度dΦ=dx有关.当这几个参数满足−ntni−λ02nidΦdx−1,即dΦdx6(−nt+ni)2λ0时,界面上存在两个全反射临界角,与文献[22]说的总是有两个全反射临界角不同,而当dΦdx(−nt+ni)2λ0时,界面上存在一个全反射临界角.与通常的折射定律不同的是,当光波由光疏介质射向光密介质(即ntni)时,也可能存在一个全反射临界角,全反射临界角出现的条件为dΦdx(nt−ni)2λ0.这些反常的结果,是相位梯度的引入使得对称性被破坏所造成的.对于反射,假设在A,C点之间有两个路径分别为ABC和ADC,它们都与实际光路无限接近,它们之间的相位差为0,如图1所示,则有:[k0nisin(θi)dx+(Φ+dΦ)]−[k0nisin(θr)dx+Φ]=0;(3)其中θr为反射角,Φ和Φ+dΦ分别为两个光路通过界面时相位不连续产生的相位变化,dx是界面上两点的距离,波数k0=2=λ0.在假设沿着界面的相位变化率为恒定,即dΦ=dx为定值的情况下,由(4)式可以导出广义的菲涅耳反射定律sin(θr)−sin(θi)=λ02nidΦdx;(4)由(4)式可以看出,反射角θr与入射角θi之间的关系是非线性的,这与传统的镜面反射有明显不同.由该式可知,对于有相位突变的界面来说,存在一个合适的入射角,使得在入射角大于它时,反射光104201-2物理学报ActaPhys.Sin.Vol.62,No.10(2013)104201消失.类比于全反射临界角,该临界角可以定义为全透射临界角,其值为θrc=arcsin(±1−λ02nidΦdx);(5)由(5)式可以看出:对于有相位突变的界面存在一个全透射临界角.不管光波是由光疏媒质射向光密媒质ntni,还是由光密媒质射向光疏媒质ntni,该透射临界角总是存在的,且该临界角由入射媒质ni,入射光的波长λ0和界面上的相位变化梯度dΦ=dx来决定.图1界面上有相位差的反射示意图3由边界条件推导广义的反射、折射定律通常,电磁超材料或电磁超表面是由周期排列的微结构构成的,微结构的尺寸小于目标电磁波的波长,而又远大于构成物质的原子或分子尺寸,因此,对目标电磁波来说,电磁超材料或电磁超表面可以被看作均匀材料.基于上面的分析,边界条件对电磁超界面来说应该仍然成立.假定光波的入射面为xoz平面,x轴在两物质的分界面上,入射光波为平面波且波矢为ki,入射角为θi,反射光波的波矢为kr,反射角为θr,折射光波的波矢为kt,折射角为θt,如图2所示.假定电场强度的切向分量连续,则可得:Eix+Erx=Etx;(6)其中,Eix=Aixe−i[ωit−ki(lix+miy+niz)];Erx=Arxe−i[ωrt−kr(lrx+mry+nrz)+Φ(x)];Etx=Atxe−i[ωtt−kt(ltx+mty+ntz)+Φ(x)];其中lα,mα,nα为波矢量ki,kr和kt三个方向余弦.在界面(z=0)上,边界条件应在任意时刻t和任意点(x,y,z)都成立,则t前的系数和x,y前的系数应分别相等.由x前的系数相等可得:kilix=krlrx−Φ(x)=ktltx−Φ(x);(7)由入射波的波矢量ki=ki(sinθi;0;cosθi)和y前的系数相等可知,mr=mt=0,这表明反射波和折射波的波矢量也在xoz平面内,即反射光线和折射光线都在由入射光线和反射界面法线所在的入射面内.图2光在界面上的反射和折射示意图对反射波和折射波有lr=sinθr;lt=sinθt,代入(7)式可得ωcnisin(θi)x=ωcnisin(θr)x−Φ(x)=ωcntsin(θt)x−Φ(x):(8)考虑到(8)式对任意的x都是成立的,则有等式:ωcnisin(θi)=ωcnisin(θr)−dΦ(x)dx=ωcntsin(θt)−dΦ(x)dx;(9)由此可得到与(1)和(4)式完全相同的反射定律和折射定律:sinθr−sinθi=λ02nidΦ(x)dx反射定律;ntsinθt−nisinθi=λ02dΦ(x)dx折射定律;(10)对比可以看出,由费马定律和利用边界条件推得的用于相位不连续界面的广义的反射定律和折射定律完全一致.进而可利用该广义的反射定律和折射定律推得相应的菲涅耳公式,并分析超界面的反射率和透射率.104201-3物理学报ActaPhys.Sin.Vol.62,No.10(2013)1042014理论分析与讨论需要指出的是,对于广义的折射和反射定律,当dΦdx=0时,即界面为通常的理想界面时,(10)式退化为θi=θr反射定律;θt=arcsin(nintsinθi)折射定律;(11)这是我们常用的反射定律和折射定律.意味着广义的折射和反射定律包含通常的折射和反射定律,换言之,通常的折射和反射定律是广义的折射和反射定律的一种特殊情况.在界面上引入相位改变后,反射角和折射角的大小除了与入射角有关以外,还与介质的折射率、入射光的波长、界面上的相位梯度有关.图3展现了当光从光疏介质射入到光密介质((a),(b))和光从光密介质射入到光疏