西南交大-自动控制-课件CT-chapter7-2009

西南交通大学电气工程学院20092第七章非线性控制系统的分析7.1描述函数法7.2非线性系统的描述函数分析7.3相平面法7.2非线性系统的相平面分析37.1描述函数法描述函数法的基本思想：在一定条件下，非线性环节在正弦信号作用下的输出，可用其一次谐波分量来近似，从而将非线性系统等效为线性系统；于是可将线性系统的频域法，推广用来分析研究非线性系统的稳定性和自持振荡问题。描述函数也是非线性特性的一种线性化处理，称为谐波线性化。第二章中讨论的非线性模型的线性化方法，是基于平衡态附近的小信号分析的线性化，仅适用于非本质非线性系统。47.1.1描述函数设非线性环节的输入信号为正弦函数：非线性环节的输出信号通常是非正弦周期函数，其周期与输入信号的周期相同。于是，可将输出y(t)展开成傅立叶级数：1010)sin()sincos(2)(nnnnnntnyytnBtnAAty式中:,2,1,,)(sin)(1,)(cos)(11222020nBAtgBAyttdntyBttdntyAnnnnnnnntAtxsin)((7.1)(7.2)57.1.1描述函数假定：a)非线性环节的输入输出特性是奇对称的，即y(-x)=-y(x),于是直流分量y0=0;b)线性部分G(j)具有良好的低通滤波特性，于是y(t)中的高次谐波分量通过G(j)后将被大幅削弱。输出y(t)的一次谐波分量(基波分量))sin(sincos)(11111tytBtAty67.1.1描述函数非线性环节的描述函数定义为，在正弦输入时该环节输出的基波分量与输入信号的复数符号之比，即：AAjABBAtgABAeAyNj11111212111式中：N为非线性环节的描述函数；A为正弦输入信号的幅值；y1为输出信号基波分量的幅值；1为输出信号基波分量的相移角。(7.3)77.1.1描述函数若非线性环节中不含储能元件N=N(A)若非线性环节中含有储能元件N=N(A,)8例7.1饱和非线性特性的描述函数饱和非线性特性是一种单值非线性函数，其输出函数为：7.1.2典型非线性特性的描述函数AbAbtkbttkAty1sin,sin2/0sin)(由于饱和非线性特性是单值奇对称的，y(t)为奇函数，故A0=0;A1=0,j1=097.1.2典型非线性特性的描述函数)(,1sin2cos21sin214coscossin42sin214cos2sin41214cos2sin41214)(sin)()2cos1(24)(sin)(sin4)(sin)(121112020202201bAAbAbAbkAAbkAAbAbkAAbkAtAbttkAttdkbtdtkAttdkbttdkAttdtyB107.1.2典型非线性特性的描述函数于是可得到饱和非线性特性的描述函数为：为输入信号幅值A的实函数.)(,1sin2)(211bAAbAbAbkABAN(7.4)11例7.2具有滞环和死区的继电型非线性特性的描述函数；具有滞环和死区的继电型非线性特性是非单值的，其输出函数为：其中，7.1.2典型非线性特性的描述函数ttMtty2211000)(AmbAmbAbAb122111sin),sin(sin,sin127.1.2典型非线性特性的描述函数y(t)既非奇函数也非偶函数，A1≠0,B1≠0但是A0=0)(),1(2sinsin2)(cos2)(cos)(2)(cos)(112020121bAmAMbMttdMttdtyttdtyA137.1.2典型非线性特性的描述函数21222122011sincoscos)(,112coscos2)(sin2)(sin)(121AmbAmbbAAmbAbMMttdMttdtyB147.1.2典型非线性特性的描述函数于是可得具有滞环和死区的继电型非线性特性的描述函数为：为与输入振幅A有关的复函数，输出的基波分量的相角滞后于输入信号的相角。)(),1(2112)(22211bAmAMbjAmbAbAMAAjABAN(7.5)157.1.2典型非线性特性的描述函数(7.5)式中,b=0,为理想继电型特性的描述函数：AMAN4)((7.6)167.1.2典型非线性特性的描述函数(7.5)式中,m=1,为具有死区的三位置继电型特性的描述函数：(7.7))(,14)(2bAAbAMAN177.1.2典型非线性特性的描述函数(7.5)式中,m=-1,为具有滞环的继电型特性的描述函数：)(,414)(22bAAMbjAbAMAN(7.8)187.2非线性控制系统的描述函数分析基本思路：满足假定条件下，通过描述函数进行非线性环节的谐波线性化；因此，在非线性控制系统的典型结构中，以描述函数视为非线性环节的非线性增益，从而将线性系统的频域法，推广用于研究非线性系统，主要用于分析在无输入信号作用时非线性系统的稳定性和自持振荡问题。197.2非线性控制系统的描述函数分析非线性控制系统的典型结构如下：假定：线性部分具有良好的低通滤波特性，且非线性环节输出的高次谐波分量较小。若非线性环节是增益为k的线性放大器，该系统便是线性系统，该线性系统的特征方程为：其频域形式为：01)(skGkjG/1)((7.9)207.2非线性控制系统的描述函数分析将非线性环节描述函数N作为一个非线性增益处理，于是，非线性系统的闭环传函为：01)()(sGAN)()(1ANjG(7.10))()(1)()()()(sGANsGANsRsC(7.11))(1)(1ANAN称为非线性特性的负倒描述函数非线性系统的特征方程为：非线性系统的频域形式为：217.2非线性控制系统的描述函数分析应用Nyquist判据，(7.11)式成立，相当于线性系统中的G(j)=-1条件成立。系统稳定的“临界点”：线性系统:“-1”非线性系统：“-N-1(A)”曲线由Z=N+P线性化闭环系统在s右半平面的极点数G(s)在s右半平面的极点数G(j)的Nyquist轨迹顺时针包围“-N-1(A)”曲线的周数227.2非线性控制系统的描述函数分析推广的Nyquist判据：设非线性系统的线性部分G(s)是最小相位的，于是,闭环系统稳定的条件为N=0.1)若G(j)曲线不包围“-N-1(A)”曲线(图a所示)则非线性系统是稳定的当s在s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时:237.2非线性控制系统的描述函数分析推广的Nyquist判据：设非线性系统的线性部分G(s)是最小相位的，于是,闭环系统稳定的条件为N=0.2)若G(j)曲线包围“-N-1(A)”曲线(图b所示)则非线性系统是不稳定的当s在s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时:247.2非线性控制系统的描述函数分析推广的Nyquist判据：设非线性系统的线性部分G(s)是最小相位的，于是,闭环系统稳定的条件为N=0.3)若G(j)曲线与“-N-1(A)”曲线相交(图c所示)则非线性系统可能出现自持振荡当s在s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时:257.2非线性控制系统的描述函数分析(若非线性系统的线性部分G(s)是非最小相位系统，则系统闭环稳定的条件为N=-P.)自持振荡可用一个正弦振荡来近似，振荡的频率和振幅，分别由交点处的G(j)曲线上的值和“-N-1(A)”曲线上的A值来确定。正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解，可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振荡：稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到，而不稳定的自持振荡却观察不到。267.2非线性控制系统的描述函数分析如图c所示：-N-1(A)曲线上，a1和a2点对应的A1和A2，振幅增大方向为a2→a1即A2A1.-N-1(A)G(j)277.2非线性控制系统的描述函数分析在a1点：扰动，使A↓：a1点→b点，b点被G(j)轨迹包围，不稳定→振幅A↑，工作点b点回到a1点；扰动，使A↑：a1点→c点，c点不被G(j)轨迹包围，稳定→振幅A↓，工作点c点回到a1点；——a1点具有收敛性。工作点在a1点时系统是稳定的，呈现稳定的自持振荡：振幅A1,频率1,该自振可近似表示为:A1sin1t-N-1(A)G(j)287.2非线性控制系统的描述函数分析在a2点：扰动，使A↓:a2点→d点,d点不被G(j)轨迹包围,稳定→振幅继续减小,工作点继续左移，偏离a2点越来越远；扰动，使A↑:a2点→e点,e点被G(j)轨迹包围,不稳定→振幅继续增大,工作点继续偏离a2点向a1点运动。——a2点具有发散性。即a2点周期运动是不稳定的，是无法维持的。-N-1(A)G(j)29例7.3非线性系统如图所示，其中具有死区的继电器特性的参数为M=1.7,b=0.7,试着分析该系统是否存在自振，若存在，求出自振的振幅和频率.7.2非线性控制系统的描述函数分析30解:线性部分为最小相位系统,频率特性为:7.2非线性控制系统的描述函数分析0025.001.090)()0025.0(1)01.0(1460)()()(1122)(tgtgjGejGjGj具有死区的继电器特性的描述函数为:)(,14)(2bAAbAMAN31其中M=1.7,b=0.7可得到负倒描述函数为:7.2非线性控制系统的描述函数分析)(,118.6)(21bAAbAAN11:():()AbNbAN232222222128.68.6)(bAbAAbAAdAddAANd0)(1dAANd)(,2bAbA令，得：327.2非线性控制系统的描述函数分析极大值:)(2:1ANbbA647.02/1118.62)2()(99.02,7.011bbNANbAb时33计算与的交点:7.2非线性控制系统的描述函数分析)(1AN)(jGa)由计算:180°时,200rad/s,|G(j)|=200=0.92b)计算时的A值：本例中有两个交点(a1,a2)，对应于两个A值:92.0)(1AN34因此与有两个交点:7.2非线性控制系统的描述函数分析)(1AN)(jGa1处:200rad/s,A1=0.757a2处:200rad/s,A2=1.842线性化系统有两个等效正弦振荡:(1)1.842sin200t为稳定的自持振荡(极限环);(2)0.757sin200t为不稳定的振荡.由例题分析可以知道,在进行非线性系统描述函数法分析时,掌握非线性特性的负倒描述函数-N-1(A)及其与线性部分G(j的交点是分析计算中的关键。35例如，设G(j为最小相位系统，7.2非线性控制系统的描述函数分析1)饱和非线性特性)(,1sin2)(211bAAbAbAbkAN