关于函数连续与一致连续的讨论

摘要从函数连续与一致连续的概念和关系出发,函数的一致连续性在数学分析中是一个比较精细的概念，占的地位比较重要。对函数连续性的研究一直受到人们的重视，经过多年不懈地研究，很多学者都取得了不少的研究成果,以对函数连续性和一致连续的内涵有更全面的理解和认识。本论文综述了连续函数的定义和一致连续函数的定义，以及一致连续函数所具有的性质，最后本文介绍了三种判别函数一致连续性的方法，第一种利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性，第二种利用瑕积分判断函数的一致连续性，第三种利用比值判别法判断函数一致连续性。关键词：连续函数性质，一致连续性，判别法AboutadiscussionoffunctioncontinuousanduniformlycontinuousAbstract:Uniformcontinuityoffunctionsinmathematicalanalysisisamoresophisticatedconcept,representingmoreimportantrole.definitionthispapersummarizesthecontinuousfunctioncontinuousfunctionandconsistent,andconsistentwiththenatureofthecontinuousfunction,finally,thispaperdescribesthreemethodsdiscriminantfunctionconsistentcontinuity,thefirstuseofcontinuousfunctionsonthenatureofthedifferenttypesofdiscriminationuniformcontinuityintervalfunction,theseconduseofuniformcontinuityflawintegralfunctionofjudge,thethirdfunctionistodeterminethecontinuityoftheuseofaconsistentratioofdiscriminationlaw.Keyword:Propertiesofcontinuousfunctions,UniformContinuity,Criterion目录一、引言.......................................................1（一）相关的背景和意义.....................................1（二）选题依据及研究内容...................................1二、函数连续及函数一致性连续的定义.............................2（一）函数连续性定义.......................................2(二)函数一致连续性定义....................................2三、函数连续的性质.............................................4（一）连续函数的局部性质...................................4（二）闭区间上连续函数的基本性质...........................4（三）反函数的连续性.......................................5（四）初等函数的连续性.....................................5四、一致连续函数的性质.........................................5（一）一致连续函数自变量与函数值的关系.....................5（二）区间内一致连续函数的有界性...........................6（三）函数一致连续的四则运算性质...........................7五、判别函数一致连续性的方法...................................9（一）利用连续函数的性质判别不同类型区间上函数的一致连续性10（二）利用瑕积分的敛散性判断函数的一致连续性..............13（三）利用比值判别法判断函数一致连续性....................14六、结论......................................................15致谢.......................................错误!未定义书签。参考文献......................................................161一、引言（一）相关的背景和意义高等数学是工科学生一门十分重要的基础课，也是高职工科院校各专业学生一门必修的重要基础理论课。通过这门课程的学习，使学生受到必要的数学理论和数学方法训练，它为许多包括专业课在内的后续课程做下铺垫。由于它的理论性强，概念抽象而且深刻，令许多学生畏惧叫苦。而函数的连续性问题是函数理论中最基本最重要的问题之一，连续性是自然界中广泛存在的一种性质，它是描述变量之间最基本的连续关系的概念。学习函数连续性的重要性在于：高等数学中的函数连续性与间断点等内容具有承上启下的作用，对于函数连续性的掌握、函数极限的运算、零点定理、介值定理以及一致连续性等方面的学习都具有重要的意义，因此，研究函数理论及应用具有理论和应用的双重意义。（二）选题依据及研究内容函数的一致连续性是研究函数的重要内容，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解其他知识的基础。为了使函数一致连续性的判定条件更加系统，本文总结了函数一致连续的一些条件。本文主要探讨连续函数到一致连续函数所需的条件。函数在区间上连续是指函数在该区间的每一点都连续，而一致连续性概念反映了函数在区间更强的连续性。函数在区间上一致连续，可以推出函数在区间上每一点都连续，而函数连续并不能推出函数一致连续。但对于定义在闭区间的函数，函数每一点连续，却可以推出函数在该闭区间上一致连续。2二、函数连续及函数一致性连续的定义（一）函数连续性定义定义设函数)(xf在点0x的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，对应函数的增量y=00()()fxxfx也趋于零,那么就称函数()fx在点0x处连续。设0xxx则0x就是0xx，00()()yfxxfx=0()()fxfx即0()()fxfxy可见0y就是0()()fxfx(1)式因此（1）式与0lim()()xfxfx相当。所以，函数()fx在点0x连续的定义又可以叙述为如下：设函数()fx在点0x的某一邻域内有定义，如果函数()fx当0xx时的极限存在，且等于它在点0x处的函数值即那么就称函数()fx在点0x连续。由函数()fx当0xx时的极限的定义可知，上述定义也可以用语言表达如下：设函数()yfx在0x的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数总是存在着正数，使得对于适合不定式0||xx的一切x对应的函数值()fx都满足不等式0()()fxfx那么就称函数()fx在点0x连续。(二)函数一致连续性定义定义设函数()fx在区间I有定义，若0,0,12,xxI,12||xx有12()()fxfx，称函数()fx在区间I一致连续。[1]例1：证明：函数)0()(abaxxf在),(上一致连续。证明：,0由于'''')''()(xxaxfxf，取=a，则对任何),(,'''xx，只要'''xx，就有)()('''xfxf，故函数)0()(abaxxf在),(上一致连续。例2：证明：函数xxf1)(在区间1,a（其中10a为常数）上一致连续；3在区间1,0上非一致连续。证明：（1）,0由于'1''1'1)''()'(2''xxaxxxxxxxfxf，取2a，则对任意,1,,'''axx当'''xx时，就有)()('''xfxf，故函数xxf1)(在区间1,a（其中10a为常数）上一致连续；（2）10,0210n，取1,01,11'nxnx，虽然有,1)1(11112'''nnnnnxx但211)1()()(0'''nnxfxf，故函数xxf1)(在区间1,0上非一致连续。对函数的一致连续性概念的掌握应注意以下三方面的问题：（1）要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知：前者的不仅与有关，而且还与点0x有关，即对于不同的0x一般来说是不同的，这表明只要函数在区间内，每一点都连续，函数就在区间连续，后者的仅与有关，与0x无关，即对不同的0x，是相同的。这表明函数在区间的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求函数在区间上是“一致”的（即连续可对一点来讲，而且对于某一点0x，取决于0x和，而一致连续必须以区间为对象，只取决于，与点0x的值无关）。在区间I一致连续的函数在这个区间一定是连续的，事实上，由一致连续性定义将1x固定，令2x变化，即知函数()fx在1x连续，又1x是区间I的任意一点，从而函数()fx在区间I上连续。但在区间I连续的函数在这区间上不一定一致连续，例如1()fxx在区间(0,1)就是如此。（2）函数一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值的差，就绝对值来说，可以任意小，即12,xxI，当12||xx时，就有12()()fxfx4（3）要注意一致连续的否定叙述一致连续的否定就是非一致连续，即设函数()fx在区间I有定义，且如果有00，0，12||xx有12()()fxfx.则称函数()fx在区间I上非一致连续。三、函数连续的性质（一）连续函数的局部性质定理1(局部有界性)若函数()fx在点0x连续，则()fx在某0U()x内有界。定理2(局部保号性)若函数()fx在点0x连续，且0()0fx（或0），则对任何正数00()(())rfxrfx或,存在某0U()x，使得对一切x0U()x有()(())fxrfxr或。定理3(四则运算)若函数()fx和()gx在点0x连续，则0()(),()(),()/()(()0)fxgxfxgxfxgxgx这里也都在点0x连续。定理4若函数)(xf在点0x连续，)(xg在点0u连续，且00()ufx，则，)(lim0xfgxx)(lim0xfgxx)(0xfg即函数)(xfg在点0x连续。（二）闭区间上连续函数的基本性质定理5（最大、最小值定理）若函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则()fx在[,]ab上有最大值与最小值。例1：判断函数()fx=arcsinx在区间[-1,1]上是否有界解：因为()fx=arcsinx是初等函数，在定义域连续(1)f=-1.57,(1)f=1.57所以2()fx2，即有界。5定理6（介值性定理）设函数()fx在闭区间,ab上连续，()fa()fb。若为介于()fa与()fb之间的任何实数（()fa()fb或()fa()fb）,则至少存在一点0x(,)ab,使得0()fx=。例2：证明方程32()1fxxx在x(0,1)内必定有根。证明：设32()1fxxx，它在[0,1]连续，又因为(0)f=-10，(1)f=10故对于介于(0)f与(1)f之间的介