二次函数的最值问题

典型中考题（有关二次函数的最值）屠园实验周前猛一、选择题1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关()A.abB.a=bCabD不能确定答案：C2．当－2≤x≤l时，二次函数
y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A、-74B、3或-3C、2或-3D2或-3或-74答案：C∵当－2≤x≤l时，二次函数
y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由
y=-（x-m）2+m2+1解得m=-74
，2765yx416此时
，它在－2≤x≤l的最大值是6516
，与题意不符.当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1
解得m=2
，此时y=-（x-2）2+5
，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符.当x=m时，由
4=-（x-m）2+m2+1解得
m=3，当m=-3此时y=-（x+3）2+4
.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当m=3
，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m的值为2或-3
.故选C．3．已知0≤x≤12，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（）A-10.5B.2C.-2.5D.-6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。真确的个数是（）A,1个B、2个C3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x，则，另一边长为8-x；设其面积为S.∴S=x·(8-x)(0x8).配方得S=-(x2-8x)=-(x-4)2+8∴当x=4时，S最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.3、函数2y=24x-x（0x4）的最大值与最小值分别是答案：2,0解：24x-x最小值为0，当4x-x2取最大值时24x-x最大，即x=2时，24x-x最大为4，所以，当x=0时，y最大值为2，当x=2时，y取最小值为04、已知二次函数y=x2+2x+a（0≤x≤1）的最大值是3，那么a的值为答案：0解：二次函数y=x2+2x+a对称轴为x=-1，当0≤x≤1时y随x的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x2+2x+a得a=0.5、如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴请用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x的值⑶该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y元，试求y与x的函数关系式，并利用函数图象与性质求y的最大值（注：利润销售价成本）解：（1）x150⑵5.9501502x解得1.0x（3）,48160x解得2.0x而0x，∴2.00x而2150160xxy＝1040502xx＝184.0502x∵当4.0x时，利用二次函数的增减性，y随x的增大而增大，而2.00x，∴当2.0x时，y最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。2、如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）设二次函数的解析式为：y=a（x﹣h）2+k∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）∴y=a（x﹣4）2+k，=16a+k①又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6∴A（1，0），B（7，0）∴0=9a+k②由①②解得a=，k=﹣∴二次函数的解析式为：y=（x﹣4）2﹣（2）∵点A、B关于直线x=4对称∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD≥DB∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴∴∴点P的坐标为（4，）（3）由（1）知点C（4，），又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60°，∵AC=BC，∴∠ACB=120°①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120°，则∠QBN=60°∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q（10，），如果AB=AQ，由对称性知Q（﹣2，）②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是（4，），经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）．3、如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标．解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为；（2）存在，如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为，当1＜m＜4时，AM=4-m，，∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当时，△APM∽△ACO，即4-m=2，解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1）；②当时，△APM∽△CAO，即，解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去），∴当1＜m＜4时，P（2，1），类似地可求出当m4时，P（5，-2），当m1时，P（-3，-14），综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为，过D作y轴的平行线交AC于E，由题意可求得直线AC的解析式为，∴E点的坐标为，∴∴∴当t=2时，△DAC的面积最大，∴D（2，1）。4如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．（1）求线段EF的长；（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．5．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．(1)求证：MN∥AB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．（1）由题中条件可得△ACE≌△DCB，进而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等边三角形，即可得出结论；（2）可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．解答（1）证明：∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴AC=CD，CE=BC，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE与△DCB中，∵AC=CD∠ACE=∠BCDCE=BC∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠CAE=∠BDC，在△ACM与△DCN中，∵∠CAE=∠BDCAC=CD∠ACM=∠DCN∴△ACM≌△DCN，∴CM=CN，又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，∴△MCN是等边三角形，∴∠MNC=∠NCB=60°即MN∥AB；（2）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，6、如图，在ABC中，∠A90°，10BC,ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合)，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设xDE以DE为折线将△ADE翻折，所得的DEA'与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.（1）．用x表示∆ADE的面积;（2）．求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式；（3）．求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式；（4）．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？解:(1)∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC∴2)(BCDESSABCADE即241xSADE(2)∵BC=10∴BC边所对的三角形的中位线长为5∴当0﹤5x时241xSyADE（3）x5﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形∵S△A'DE=S△ADE=241x∴DE边上的高AH=AH'=x21由已知求得AF=5∴A'F=AA'-AF=x-5由△A'MN∽△A'DE知2DEA'MNA')HA'FA'(SS2MNA')5(xS∴251043)5(41222xxxxy（4）在函数241xy中∵0﹤x≤5∴当x=5时y最大为：425在函数2510432xxy中当3202abx时y最大为：325∵425﹤325∴当320x时，y最大为：325CBA7、如图，抛物线2212bxxy与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，且A（－1，0）。（1）求抛物线的解析式及顶点Ｄ的坐标（2）判断△ＡＢＣ的形状，证明你的结论。（3）点Ｍ（m，0）是Ｘ轴上的一个动点，当ＭＣ+ＭＤ的值最小时，求m的值解：（1）将A（－1，0）代入2212bxxy得23b，所以抛物线的解析式223212xxy配方得：825)23(212xy，所以顶点D