2016新课标创新人教A版数学选修1-1 章末小结与测评

版权所有:中国好课堂对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略，如：(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(2)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离与到准线的距离进行转化，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义在解题中有重要作用，要注意灵活运用．[典例1](1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．(2)若F1，F2是双曲线x216－y29＝1的左、右焦点，点M在双曲线上，且满足|MF1|＝5|MF2|，则△MF1F2的面积等于________．解析：(1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，版权所有:中国好课堂则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，∴a＝4.又离心率e＝ca＝22，∴c＝22，∴b2＝a2－c2＝8，∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.(2)由已知，得a2＝16，b2＝9，c2＝25，所以a＝4，c＝5.由于点M在双曲线上，且|MF1|＝5|MF2|，则M在右支上，根据双曲线定义有|MF1|－|MF2|＝2a＝8，又|MF1|＝5|MF2|，所以|MF1|＝10，|MF2|＝2，而|F1F2|＝2c＝10，则△MF1F2为等腰三角形，取MF2中点为N，则F1N⊥MF2，且|F1N|＝102－12＝311，从而S△MF1F2＝12×2×311＝311.答案：(1)x216＋y28＝1(2)311[对点训练]1．抛物线y2＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()A．x1，x2，x3成等差数列B．y1，y2，y3成等差数列C．x1，x3，x2成等差数列D．y1，y3，y2成等差数列解析：选A如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义得，|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.版权所有:中国好课堂∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.又∵|AA′|＝x1＋p2，|BB′|＝x2＋p2，|CC′|＝x3＋p2，∴2x2＋p2＝x1＋p2＋x3＋p2⇒2x2＝x1＋x3，∴选A.2．若点M(2，1)，点C是椭圆x216＋y27＝1的右焦点，点A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝26，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－26.答案：8－261.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等．2．求离心率的值或取值范围的主要方法有：(1)定义法：利用a，b，c之间的关系以及e＝ca，知道a，b，c中任意两个可求e.(2)方程法：建立a与c的齐次关系式，可求离心率e.(3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．[典例2]已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝±152yB．y＝±152xC．x＝±34yD．y＝±34x解析：选D由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，版权所有:中国好课堂∴椭圆焦点(±3m2－5n2，0)，双曲线焦点(±2m2＋3n2，0)，∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，即|m|＝22|n|.又双曲线渐近线为y＝±6·|n|2|m|·x，将|m|＝22|n|代入上式，得y＝±34x.[典例3]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝π3，求椭圆离心率e的范围．解：△F1PF2中，∠F1PF2＝π3，由椭圆定义及余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosπ3＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即4c2＝4a2－3|PF1|·|PF2|.故4a2－4c2＝3|PF1||PF2|≤3|PF1|＋|PF2|22＝3a2，由此可得离心率e∈12，1.[对点训练]3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()A．2B.3C.2D.32解析：选C双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程为y＝±bax，依题意有ba·－ba＝－1，故b2a2＝1，所以c2－a2a2＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝2.4．椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a＞5)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F′，则△FAB的周长|FA|＋|AB|＋|FB|≤|FA|＋|F′A|＋|FB|＋|F′B|＝4a.所以4a＝12，a＝3，e＝a2－5a＝23.版权所有:中国好课堂答案：235．如图，已知椭圆C1的中心为原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e＝12，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：x2a2＋y2b2＝1，C2：b2y2a4＋x2a2＝1，其中a＞b＞0.设直线l：x＝t(|t|＜a)，分别与C1，C2的方程联立，求得At，aba2－t2，Bt，baa2－t2.当e＝12时，b＝32a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝2|yB|2|yA|＝b2a2＝34.(2)t＝0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即baa2－t2t＝aba2－t2t－a，解得t＝－ab2a2－b2＝－1－e2e2·a.因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以1－e2e2＜1，解得22＜e＜1.所以当0＜e≤22时，不存在直线l，使得BO∥AN；当22＜e＜1时，存在直线l，使得BO∥AN.1.直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，内容涉及直线与圆锥曲线的公共点的个数、弦长、焦点弦、中点弦、取值范围、最值等问题，题型主要以解答题的形式出现，这版权所有:中国好课堂类问题综合性较强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合，突出考查函数与方程、数形结合、化归、分类讨论等数学思想方法的应用，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力及计算能力．2．解题时要注意掌握一些基本的解题规律和技巧，如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时，不要仅由判别式Δ来进行判断，还要注意二次项系数是否为0；涉及弦长问题时，利用弦长公式及根与系数的关系求解，而对于焦点弦问题，则结合圆锥曲线的定义求解；解决有关中点弦问题时常常运用“点差法”使运算过程得以简化．[典例4]已知椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解：(1)由已知得，c＝22，ca＝63.解得a＝23.又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为x212＋y24＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，由y＝x＋m，x212＋y24＝1，得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.版权所有:中国好课堂此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.[对点训练]6．直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则k的取值范围是________．解析：数形结合得k≥1或k≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)7．已知直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值．解：联立方程y＝（a＋1）x－1，y2＝ax，①当a＝0时，此方程组恰有一组解x＝1，y＝0，②当a≠0时，消去x，得a＋1ay2－y－1＝0.(ⅰ)若a＋1a＝0，即a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0.方程组恰有一组解x＝－1，y＝－1.(ⅱ)若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，得1＋4（a＋1）a＝0，可解得a＝－45，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，当a＝0，－1，－45时，直线与曲线y2＝ax只有一个公共点.1.圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明．2．圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等最值问题；一类是圆版权所有:中国好课堂锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化、代换等途径来解决．[典例5]如图所示，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值；(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；(3)若直线l：y＝kx＋m与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)证明：设点P的坐标为(x，y)，令f(x)＝|PF1|2＝(x＋c)2＋y2.又点P在椭圆C上，故满足x2a2＋y2b2＝1，则y2＝b2－b2a2x2.代入f(x)得，f(x)＝(x＋c)2＋b2－b2a2x2＝c2a2x2＋2cx＋a2，则其对称轴方程为x＝－a2c，由题意，知－a2c＜－a恒成立，∴f(x)在区间[－a，a]上单调递增．∴当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值．(2)由已知与(1)得：a＋c＝3，a－c＝1，∴a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(3)证明：如