安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测理数试题

安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，则2342iii（）A．5B．5iC．71255iD．71255i2.已知等差数na，若2510,1aa，则na的前7项的和是（）A．112B．51C．28D．183.已知集合M是函数112yx的定义域，集合N是函数24yx的值域，则MN（）A．12xxB．142xxC．1,2xyx且4yD．4.若双曲线222210,0xyabab的一条渐近线方程为2yx，该双曲线的离心率是（）A．52B．3C．5D．235.执行如图程序框图，若输入的n等于10，则输出的结果是（）A．2B．3C．12D．136.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布100,4N.现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在98,104内的产品估计有（）（附：若X服从2,N，则0.6826PX，220.9544PX）A．3413件B．4772件C．6826件D．8185件7.将函数cossinyxx的图像先向右平移0个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到cos2sin2yxx的图像，则,a的可能取值为（）A．,22aB．3,28aC．31,82aD．1,22a8.已知数列na的前n项和为nS，若323nnSan，则2018a（）A．201821B．201836C．20181722D．2018110339.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．518B．618C．86D．10610.已知直线210xy与曲线xyaex相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是（）A．12B．1C．2D．e11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在AB、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时.AB、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A．320千元B．360千元C．400千元D．440千元12.已知函数22,2xefxxxgxx(其中e为自然对数的底数），若函数hxfgxk有4个零点，则k的取值范围为（）A．1,0B．0,1C．221,1eeD．2210,ee第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若平面向量,ab满足2,6abab，则ab．14.已知m是常数，543252054311 axaxaxaxaxamx，且12345533aaaaaa，则m．15.抛物线2:4Eyx的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(第一象限内．．．．．)作l的垂线PQ,垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为．16.在四面体ABCD中，2,60,90ABADBADBCD，二面角ABDC的大小为150,则四面体ABCD外接球的半径为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，2coscos0abCcA.（1）求角C；（2）若23c，求ABC的周长的最大值.18.2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望.19.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，点M为棱AE的中点.（1）求证：平面//BMD平面EFC；（2）若2DEAB，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点12,FF，交y轴于点12,BB.以12,BB为顶点，12,FF分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点21,2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点2,0的直线l与椭圆E交于,MN两点，求2FMN面积的最大值.21.已知ln21afxxaRx.（1）讨论fx的单调性；（2）若fxax恒成立，求a的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线13cos:2sinxCy(为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2cos0C.（1）求曲线2C的普通方程；（2）若曲线1C上有一动点M，曲线2C上有一动点N，求MN的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数21fxx.（1）解关于x的不等式11fxfx；（2）若关于x的不等式1fxmfx的解集不是空集，求m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ACBCC6-10:DDACB11、12：BD二、填空题13.114.315.4,416.213三、解答题17.解：（1）根据正弦定理，由已知得：sin2sincossincos0ABCCA，即sincossincos2sincosACCABC，∴sin2sincosACBC，∵ACB，∴sinsinsin0ACBB，∴sin2sincosBBC，从而1cos2C.∵0,C，∴3C.（2）由（1）和余弦定理得2221cos22abcCab，即2212abab，∴2212332ababab，即248ab(当且仅当23ab时等号成立）.所以，ABC周长的最大值为4363c.18.（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M，则3336119112020CPMC，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920.（2）随机变量X的所有可能取值有0,1，2，3.因为211105480PX,2124111311545448PXC，212413133325445480PXC，243935420PX，所以X的分布列为所以110333601232.380808080EX.19.（1）证明：连结AC，交BD于点N，∴N为AC的中点，∴//MNEC.∵MN平面EFC，EC平面EFC，∴//MN平面EFC.∵,BFDE都垂直底面ABCD，∴//BFDE.∵BFDE，∴BDEF为平行四边形，∴//BDEF.∵BD平面EFC，EF平面EFC，∴//BD平面EFC.又∵MNBDN，∴平面//BDM平面EFC.（2）由已知，DE平面ABCD，ABCD是正方形.∴,,DADCDE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设2AB，则4DE，从而2,2,0,1,0,2,2,0,0,0,0,4BMAE，∴2,2,0,1,0,2DBDM，设平面BDM的一个法向量为,,nxyz，由00nDBnDM得22020xyxz.令2x，则2,1yz，从而2,2,1n.∵2,0,4AE，设AE与平面BDM所成的角为，则45sincos15nAEnAEnAE，所以，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为4515.20.（1）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为222210xyabab，焦距为2c，则bc，∴22222abcb，∴椭圆E的标准方程为222212xybb.又∵椭圆E过点21,2，∴2211212bb，解得21b.∴椭圆E的标准方程为2212xy.（2）由于点2,0在椭圆E外，所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线:2lykx，设1122,,,MxyNxy.由22212ykxxy消去y得，2222)128820kxkxk（.由0得2102k，从而22121222882,1212kkxxxxkk，∴22212222412112kMNkxxkk.∵点21,0F到直线l的距离231kdk，∴2FMN的面积为22222413212kkSMNdk.令212kt，则1,2t，∴222123233ttttStt2232131313248ttt，当134t即441,233t时，S有最大值，max324S，此时66k.所以，当直线l的斜率为66时，可使2FMN的面积最大，其最大值324.21.（Ⅰ）fx的定义域为12，，2222222121axaxafxxxxx.∵2210,0xx.令2 22gxxaxa，则（1）若0，即当02a时，对任意1,2x，0gx恒成立，即当1,2x时，0fx恒成立（仅在孤立点处等号成立）.∴fx在1,2上单调递增.（2）若0，即当2a或0a时，gx的对称轴为2ax.①当0a时，02a，且11022g.如图，任意1,2x，0gx恒成立，即任意1,2x时，0fx恒成立，∴fx在1,2上单调递增.②当2a时，12a，且11022g.如图，记0gx的两根为2212112,222xaaaxaaa∴当121,,2xxx时，0gx；当211,222aaa时，0gx.∴当121,,2xxx时，0fx，当12,xxx时，0fx.∴fx在11,2x和2,x上单调递增，在12,xx上单调递减.综上，当2a时，fx在1,2上单调递增；当2a时，fx在211,222aaa和212,2aaa