第28讲平面向量的概念与运算

新课标高中一轮总复习理数理数•第四单元•三角函数与平面向量第28讲平面向量的概念与运算1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量垂直关系.1.下列说法正确的是()CA.平行向量就是与向量所在直线平行的向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为0D.共线向量是在一条直线上的向量平行向量指方向相同或相反的非零向量，其所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等的向量不一定是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错；C是正确的.2.若向量a=(x,1),b=(4,x)，则当x=时，a与b共线且方向相同.2因为a=(x,1),b=(4,x),若a∥b,则x·x-1×4=0,即x2=4,所以x=±2，当x=-2时，a与b方向相反，当x=2时，a与b方向相同.3.已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂直，则实数k等于.-1ka-2b=(k-4,k+6),a=(1,1),由已知得(ka-2b)·a=k-4+k+6=0，解得k=-1.4.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|=()CA.B.C.D.471013a+b遵循平行四边形法则.|a+3b|===.故选C.22|3|||2|3|||cos60baba1319123125.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为()AA.B.C.D.6551351365|a|cosθ=|a|====.故选A.||||abab||abb222(4)374713656551.向量的有关概念既有①又有②的量叫做向量.③的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的.④的向量叫做单位向量.方向⑤的⑥向量叫做平行向量(或共线向量).⑦且⑧的向量叫做相等向量.⑨且⑩的向量叫做相反向量.大小方向长度为0长度为1相同或相反非零长度相等方向相同长度相等方向相反2.向量的表示方法用小写字母表示，用有向线段表示，用坐标表示.3.向量的运算加法、减法运算法则：平行四边形法则、三角形法则.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=;(2)当λ0时,λa的方向与a的方向；当λ0时，λa的方向与a的方向；当λ=0时，λa=.运算律：交换律、分配律、结合律.4.平面向量共线定理向量b与非零向量a共线的充分必要条件是.11|λ||a|12相同13相反14015有且只有一个实数λ，使得b=λa5.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内两个的向量，那么对这个平面内任一向量a，.实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.6.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，x、y,使得a=xi+yj,则实数对叫做向量a的直角坐标,16不共线17有且只有一对18有且只有一对实数19(x,y)记作a=(x,y)，其中x、y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.相等的向量坐标，坐标相同的向量是的向量.7.平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=.(2)如果,则=.(3)若a=(x,y)则λa=.20相同21相等22(x1±x2,y1±y2)23A(x1,y1),B(x2,y2)24(x2-x1,y2-y1)AB25(λx,λy)8.平行与垂直的充要条件(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是.9.向量的夹角两个非零向量a和b,作=a，=b，则叫做向量a与b的夹角,记作.如果夹角是,我们说a与b垂直,记作.2627x1y2-x2y1=0x1x2+y1y2=0OAOB28∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)29〈a,b〉=θ3090°a⊥b3110.向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积),记作.规定:零向量与任一向量的数量积为.向量的数量积满足的运算律：(1);(2);(3).32|a||b|cosθ33a·b=|a||b|cosθ340353637a·b=|a||b|cosθ(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(a+b)·c=a·c+b·c数量积的性质：(1)e·a==(e是与a同方向的单位向量);(2)a2=;(3)a·b=0;(4)cosθ=;(5)|a·b||a||b|.38a·e39|a|cosθ40|a|241a⊥b42||||abab43≤11.向量数量积的坐标运算若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=.向量a在b上的投影为.12.定理两个向量a、b垂直的充分必要条件是.44x1x2+y1y245||abb45x1x2+y1y2=0题型一向量的基本概念、线性运算及简单性质典例精讲典例精讲例1判断下列各题是否正确：(1)向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；(2)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=;ABCDABDC(4)已知λ,μ∈R，λ≠μ,则(λ+μ)a与a共线;(5)O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足=+λ(+,λ∈［0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的内心；(6)已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点,若++=0,则O是△ABC的重心.OPOA||ABAB||ACACOAOBOC(1)∥,直线AB和CD可以共线,也可以平行，故不正确.(2)若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确.(3)若四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD,所以=;若四边形ABCD中，AB=DC,则∥，所以四边形ABCD是平行四边形，判断正确.ABCDABDCABDC(4)由实数与向量的积，可知正确.(5)与分别表示与方向的单位向量，设它们分别为与，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形AB′P′C′，平分∠BAC，=λ(+)与的方向相同，也平分∠BAC.由=+知P的轨迹为∠BAC的平分线，一定通过△ABC的内心，故正确.OPOA||ABAB||ACACABACABACAPAPABACAPAP(6)因为++=0,所以=-(+)，即+是与方向相反且长度相等的向量.如图所示,以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则=+，所以=-，在平行四边形BOCD中,设BC与OD相交于E，=，则=.所以AE是△ABC的边BC的中线,且||=2||.所以O是△ABC的重心，故正确.OAOBOCOAOBOCOBOCOAOBOCODODOABEECOEEDOAOE点评点评(1)表示与同方向的单位向量.(2)向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用.||ABABAB题型二平面向量基本定理及应用例2平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2)，c=(4,1).(1)能否以b、c作基底，表示a？若能，请写出表达式；(2)若（a+kc)∥(2b-a)，求实数k；(3)若向量d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d.5（1）由b,c不共线，从而有a=mb+nc，根据向量相等的充要条件求参.（2）由向量平行的充要条件列出关于k的方程求解.（3）由两向量平行及向量的模列方程组求解.分析分析(1)由题意，非零向量b,c不共线，故可作为一组基底，表示a.令a=mb+nc，则(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),-m+4n=3m=2m+n=2，n=.a=b+c.所以得59898959(2)因为a+kc=(3+4k,2+k)，2b-a=(-5,2),又因为(a+kc)∥(2b-a),所以2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,所以k=-.(3)设向量d的坐标为(x,y)，则d-c=(x-4,y-1)，a+b=(2,4)，4(x-4)-2(y-1)=0(x-4)2+(y-1)2=5，x=3x=5y=-1y=3.所以d的向量坐标为(3,-1)或(5,3).1613由题意知所以或点评点评平面向量基本定理及向量关系是向量核心，通过基底能表示平面内任何一个向量，从而迅速发现关系及运算求解；若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a∥b的充要条件是a=λb或x1y2-x2y1=0，但不能写成=(其中x2,y2可能为零）;确定向量,常用待定系数法列方程求解.12xx12yy题型三平面向量数量积及应用例3已知平面向量a=(,-1),b=(,).(1)证明：a⊥b;(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb，且c⊥d，试求函数关系式k=f(t);(3)对(2)的结论，讨论函数k=f(t)的单调性.31232(1)证明：因为a·b=×-1×=0,所以a⊥b.(2)因为c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb，且c⊥d,所以c·d=［a+(t2-3)b］·(-ka+tb)=-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a·b=0.又a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a·b=0,所以c·d=-4k+t3-3t=0,所以k=f(t)=(t≠0).31232334tt(3)由(2)知，f(t)=(t3-3t),f′(t)=(3t2-3),令f′(t)0得t1或t-1,令f′(t)0得-1t1，且t≠0.所以函数k=f(t)的单调递增区间为(1,+∞)和(-∞,-1)，单调递减区间为(-1,0)和(0,1).1414点评点评该例为向量与函数及导数的综合问题，求解时要灵活变换，及时调整思维角度,并注意解题的严谨性,如t≠0容易忽略.备选题备选题已知两点M(-1,0),N(1,0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P的坐标为(x0,y0)，记θ为与的夹角，求tanθ.MPMNPMPNNMNPPMPN(1)设P(x,y)，由M(-1,0),N(1,0)，得=-=(-1-x,-y),=-=(1-x,-y),=-=(2,0).所以·=2(1+x),·=x2+y2-1,·=2(1-x).于是，·，·，·是公差小于零的等差数列，等价于x2+y2-1=［2(1+x)+2(1-x)］2(1-x)-2(1+x)0,MPMNPMPNNMNPMPMNPMPNNMNPMPMNPMPNNMNP12即x2+y2=3x0.所以，点P的轨迹是以原点为圆心,3为半径的右半圆(不包括与y轴的交点).(2)点P的坐标为(x0,y0),·=x02+y02-1=2,||·||===.所以cosθ==.PMPNPMPN22220000(1)(1)xyxy00(42)(42)xx2024x||||PMPNPMPN2014x因为0x0≤,所以cosθ≤1,0≤θ,sinθ==,所以tanθ====|y0|.312321cos20114xsincos202011414xx23cos点评点评(1)本题是关于平面向量的一道综合创新题，它考查了平面向量的基本概念及其运算，是一个向量与平面解析几何、三角函数及不等式的综合题，是在知识网络的交汇点处设计的一个优秀试题，但解决这一问题的基本知识却是向量中最基本