计量经济学-第四章-非线性回归模型的线性化

计量经济学授课人：田立法教材：张晓峒《计量经济学基础（第3版）》授课班级：金融0905、0906，信用0901公共信箱：[e-mail]计量经济学天津商业大学经济学院天津商业大学经济学院2011年10月第四章非线性回归模型的线性化第一节：变量间的非线性关系第二节：线性化方法第三节：案例分析第一节变量间的非线性关系1.线性回归模型与非线性回归模型的形式有何不同？线性模型非线性模型2.非线性回归模型可分为几类？第一类：非标准的线性回归模型；第二类：可线性化的非线性回归模型；第三类：不可线性化的非线性回归模型。uXXXYkk22110uXXXfYpk),,,;,,,(1021第一节变量间的非线性关系第一类：非标准的线性化模型Y与解释变量之间不存在线性关系，但与未知参数之间存在线性关系。举例：总成本函数模型uXXXfXXXfXXXfYkkpkk),,,(),,,(),,,(21212221110uXXXC332210kXXX,,,21p,,,,210第一节变量间的非线性关系第二类：可线性化的非线性回归模型此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。如，柯布—道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简称C-D生产函数模型：其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，A为效率系数，和非别为K和L的产出弹性，A、和均为待估未知参数。取对数后：ueLAKYuLnLLnKLnALnY第一节变量间的非线性关系第三类：不可线性化的非线性回归模型有些回归模型无论通过什么样的变换，都无法使其化为标准的线性回归模型，这类回归模型被称为不可线性化的非线性回归模型。如：ueeYXX2211210第二节线性化方法1.非标准线性回归模型的线性化方法变量替换法变量替换公式为则uXXXfXXXfXXXfYkkpkk),,,(),,,(),,,(21212221110),,,(),,,(),,,(2121222111kkkkkXXXfZXXXfZXXXfZuZZYpp110第二节线性化方法（1）多项式函数模型令则例4.1假设某企业在15年中每年的产量和总成本的统计资料如表4.1所示，试估计该企业的总成本函数模型。解：详见教材。ikkkiiiuXXXY2210kikiiiiiXZXZXZ,,,221iKikiiiuZZZY22110第二节线性化方法（2）双曲函数模型令则，化为标准的线性回归模型iiiuXY11iiiiXXYY1,1**iiiuXY**第二节线性化方法（3）对数函数模型令则（4）S-型曲线模型取倒数令则iiiuXYlniiXXln*iiiuXY*iXiueYi1iXiueYi1iXiiieXYY**,1iiiuXY**第二节线性化方法2.可线性化的非线性回归模型的线性化方法（1）指数函数模型取对数令则（2）幂函数模型iiubXiAeYiiiubXAYlnlnAaYYiiln,ln*iiiubXaY*ikukiiiieXXAXY21211ikikiiiuXXXAYlnlnlnlnln2211kikiiiiiiiXXXXXXAYYln,,ln,ln,ln,ln*2*21*10*ikikiiiuXXXY**22*110*第二节线性化方法例4.2对于柯布—道格拉斯（C-D）生产函数其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，u表示随机误差项，A、、为未知参数。试利用天津市1980年~1996年间的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。解：详见教材。nieLAKYiuiii,,2,1,第二节线性化方法3.不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法迭代线性化法第一步：根据经济理论和历史统计资料，选定作为未知参数的一组初始估计值。接着将模型的非线性函数在这组初始估计值附近作泰勒级数展开，得舍掉二阶和二阶以上的高阶项，得：),,,(0,0,20,1p),,,(21ppipjjjiijiipiiipkuffXXXfY110,0,020,100,0,20,121))((][21)(][),,,;,,,(第二节线性化方法3.不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法移项整理后得：令得piiiipkvfXXXfY10,00,0,20,121)(][),,,;,,,(vffXXXfYpiiipiiipk10100,0,0,20,121][][),,,;,,,(piiipkfXXXfYY100,0,0,20,121*][),,,;,,,(0022011][,,][,][ppfZfZfZvZZZYpp2211*3.不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法第二步：对变换好的标准线性回归模型应用普通最小二乘法估计未知参数。由给定的样本观察值和初始估计值计算出一组新的样本观测值。利用这组新的样本观测值，就可以得到线性回归模型的一组新的最小二乘估计量。第三步：将非线性函数在这组新的参数估计值附近作泰勒级数展开，线性化后得到一个新的标准线性回归模型。对这个新的标准线性回归模型再应用普通最小二乘法，又得到一组新的最小二乘估计量。第二节线性化方法),,,(1,1,21,1p);,,,(21iKiiiYXXX),,,(0,0,20,1p),,2,1(,,,,21*niZZZYpiiii1,1,21,1,,,pf2,2,22,1,,,p3.不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法重复这一过程：一直到参数估计值满足下式为止，即对于预先给定的任意小的正数，不等式成立。例4.3写出利用迭代线性化法估计下面的非线性消费函数模型的具体步骤。其中，C表示总消费，Y表示可支配收入。第二节线性化方法),,2,1(,,1,pililili0uYC210第二节线性化方法3.不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法解：若C与Y之间存在线性关系，则，因此可将参数的初始估计值取为。将非线性消费函数在这组初始估计值附近作泰勒级数展开，然后取线性近似。代入消费函数模型，得移项得令得1210,20,10,0YYYYYYYYYflnln)1(ln)1()1(1),,(210210210uYYYYYClnln210uYYYYYClnln210YYXYXYYCYln,,ln21*uXXY22110*第二节线性化方法3.不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法解：将参数初始估计值换成重复上述步骤，又得到一组新的最小二乘估计值直至估计值达到预定的精度为止。美国1947年第1季度~1995年第2季度的时间序列数据，经过22次迭代后达到收敛，得到的消费函数的估计模型为10,20,10,01,21,11,0，，2,22,12,0，，9990.0,195.033.256ˆ2180.1RYC第三节案例分析例4.4两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计解：两要素不变替代弹性生产函数，简称CES生产函数，是由Arrow、Chenery、Mihas和Solow等人于1961年提出，其一般形式如下：其中A——效益系数，是广义技术进步水平的反映，应满足A0;——分配系数，应满足；——替代系数，应满足；m——规模报酬参数，m1表示规模报酬递减，m=1表示规模报酬不变，m1表示规模报酬递增。mLLAY])1([1101第三节案例分析例4.4两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计解：1928年Cobb，DauglasC-D生产函数1937年Dauglas，DurandC-D生产函数的改进型1957年Solow含体现技术进步生产函数1960年Solow两要素CES生产函数1961年Arrow二级CES生产函数1967年SatoVES生产函数1968年Sato，Hoffman边界生产函数1971年RevankerVES生产函数1973年Christensan，Jorgenson超越对数生产函数1980年三级CES生产函数第三节案例分析例4.4两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计解：CES生产函数是一个关于四参数A、、、m的非线性函数，而且无法通过简单的变换实现线性化。教材介绍了一种由Kementa于1967年提出的线性化估计方法。首先，对函数两边取对数，得：设])1(ln[lnlnLKmAYmLLAY])1([1])1(ln[)(LKf第三节案例分析例4.4两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计解：将在处作泰勒级数展开，取0阶、1阶和2阶项，得将上式代入得)(f02222)])[ln(1(21]ln)1(ln[)ln)(ln1(21]ln)1(ln[0)(LKLKLKLKf])1(ln[lnlnLKmAY2)])[ln(1(21ln)1(lnlnlnLKmLmKmAY第三节案例分析例4.4两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计解：设为被解释变量，为解释变量，为未知参数，则可将上面线性化的CES生产函数改写为一个简单的多元线性回归模型：2)])[ln(1(21ln)1(lnlnlnLKmLmKmAY2321)][ln(,ln,lnLKXLXKX)1(21),1(,,ln3210mmmAYZlnuXXXZ3322110第三节案例分析例4.4两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计解：利用最小二乘法（OLS）可以得到的估计值，进而得到CES生产函数的结构参数的估计值：Eviews操作：详见教材。3210,,,3210ˆ,ˆ,ˆ,ˆmA,,,0ˆˆeA211ˆˆˆˆ21213ˆˆ)ˆˆ(ˆ2ˆ21ˆˆˆm