第2章 第3节 矩阵的秩

第三节矩阵的秩1第二章22.3矩阵的秩:,mnkAkk阶子矩阵中行列的交叉处元素按原顺序组成.:kk阶子式阶子矩阵的行列式12121:1kkiiimkkjjjn例取定行列111122122212kkkkkkijijijijijijijijijaaaaaakaaa阶子式为3(1)：A的每个元素都是A的一个一阶子式(2)：当A为n阶方阵时，n阶子式即为|A|注：4例如：101002340005A一个3阶子式10002410005问：A共有多少个三阶子式？5()max:det0kkrankAkA0定义矩阵的秩是0.显然：r(A)min(m,n)即：矩阵A的不为0的子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)。62.3矩阵的秩例如：101002340005A中有一个三阶子式100024100005故：r(A)=37利用初等变换求矩阵的秩定理2.6对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变。证明：显然。例：1212024266.2103233343A求矩阵的秩解：12120242662103233343A122rr121200002603212132rr09623143rr8阶梯形r(A)=312120000260321209623A32rr1212000026032120962334rr0002609623233rr12120032120001300026342rr12120032120001300000122031001309注：(3)非奇异矩阵A，有|A|0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵。(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。(1)若矩阵A中至少有一个k阶子式不为0，而所有k+1阶子式全为0，则r(A)=k。102.3矩阵的秩2.4:ABAB定义和等价经有限次初等变换(1)(2)(3)(4)()()ABrankArankBAAABBAABACBC问：所有n阶矩阵按上面得等价关系（秩相等即为同一类）可分为多少类？112.3矩阵的秩12(1)(1)(1),2.5,;1,.rkrmkrkjrkjjja(2)定义阶梯形矩阵:前行不是其他各行都是第行的第个非零元素是00(1)2.5,;(2)定义’阶梯形矩阵:若有零行则零行在非零行的后面后一行的第一个非零元素在前一行的第一个非零元素之后。122.3矩阵的秩课堂练习：判断下列矩阵是否为阶梯形矩阵。510345027202000420000000A5102000272100414024B132.3矩阵的秩(0)2.8AA定理矩阵阶梯形矩阵.111121211111,,,,,,,:00000jjnjnmjmnAaaaaaaa证明等价于142.3矩阵的秩()()()()(0)rrnrmrrmrnrE0A00A经初等变换经初等行变列换矩阵(),.mnrrankArA右端是秩为的的等价标准形定理2.915前例进一步有A10000010000010000000A的标准形注：若A为n阶满秩方阵，则其标准形为n阶单位阵E。12210031220010300000120**030**0010300000100**030**0010300000100000300000100000000000031000212300212143cc100010001rE0000000000000016矩阵的初等变换定义对矩阵施行下列三种变换称为矩阵的初等行变换(1)互换两行(记作rirj);(2)以数0乘以某一行(记作×ri);(3)将第j行各元素乘以数后加到第i行的对应元素上去(记作ri+rj)相应地，矩阵的三种初等列变换的记号只需将r换成c。17初等矩阵定义4.2由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。.三种初等变换对应三种初等矩阵2.3矩阵的秩182.3矩阵的秩101(,)101ijAij第行第行,:Eij(1)交换的第两行(列)192.3矩阵的秩(2)(0)()kkEi数乘于的第行列()1()1kkiEi第行202.3矩阵的秩(3)kEjEi数乘于的第行加到的第行11()11(,)kkEiijj第行第行(ikj第列乘于数加到第列)212.3矩阵的秩初等矩阵都是可逆矩阵其逆矩阵也是初等矩阵1(,)(,)()ijijEE11()()()kikiEE1(),(),()()()kkEjiEji22定理2.10对A施行一次初等行变换，相当于在A的左侧乘以一个相应的初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右侧乘以一个相应的初等矩阵；例如：111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa设A是一个m×n矩阵23(1)Ar1r2212223241112131431323334aaaaaaaaaaaaP(1,2)A212223241112131431323334aaaaaaaaaaaa010100001111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa24(2)Ac3c4111214132122242331323433aaaaaaaaaaaaAP(3,4)1112131421222324313233341000010000010010aaaaaaaaaaaa111214132122242331323433aaaaaaaaaaaa252.3矩阵的秩122.8.isAPPPPA定理，使得是阶梯形矩阵12122.9000iirtsAPQEPPPAQQQ定理，和使得(1,2,,)(1,2,,)mniirmiQinAPst秩为阶：任意矩阵：初等矩阵：阶初等矩阵262.3矩阵的秩2.11定理(1)nnA是可逆矩阵(2)()rankAn(3)det0A(4)A可表示为有限个初等矩阵的乘积证明:(1)(2)(2)(3)(2)(4)(4)(1)272.3矩阵的秩1212000rtsAEPPPAQQQ可逆初等矩阵可逆左端矩阵可逆右端不可能有零行向量()rankAn定理2.9证(1)(2)282.3矩阵的秩1212tnsPPPAQQQE1111112121stAPPPQQQ又初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵A可表示为初等矩阵的乘积()rankAn证明(2)(4)292.3矩阵的秩,,82.mnmmAPPA可逆矩阵使得为定理阶梯形矩阵2.9mnmnmmnnABPQPAQB和等价两个可逆矩阵和使得定理()000mmnnrrankArCCECAC两可逆矩阵和使得302.3矩阵的秩逆矩阵的实用算法1111112121stAPPPQQQ可逆矩阵11212stAQQQPPP11212()()tsQQQPPPAEEA1()()AEEA初等行变换1.A变换过程出现零行向量不存在31练习1（一起看）：设123221,343A求A－1.解：123100()221010343001AEr2－2r1r3－3r112310002521002630132103620012520001321102110025210001111100132020365001111r1－2r3r2－5r31001320103/235/2001111)21(2r)1(3rr1+r2r3－r233故11323/235/2111A34对A也可通过初等列变换求A－1EA初等列变换1AEA=P1P2…Pm注：表示为：11121PPPmEAEA－111121PPPm35对于n元线性方程组AX=B则X＝A－1B|A|0，即A－1存在若练习2：逆矩阵的应用(1).解线性方程组36(I).解方程组x1+2x2+3x3=12x1+2x2+x3=13x1+4x2+3x3=3解：方程组简记为123221,343A11,3B123,xXxxX=A1B由于|A|=20,A可逆，故AX=B其中37而113232352,111A123xXxx1AB13232352111113893即x1=8,x2=9,x3=3.38(II).解矩阵方程120144212531213X解：矩阵方程简记为AX=B11120144212531213XAB12042117312A0A－1存在395421411121251725613156116371763540(III).解矩阵方程AX+E=A2+X其中101020,101AE为三阶单位矩阵.解：由AX+E=A2+X,即(AE)X=(AE)(A+E).得AXX=A2E,001010,100AE而所以AE可逆.41故X=A+E101100020010101001201030102(AE)X=(AE)(A+E)所以(A－E)－1(AE)X=(A－E)－1(AE)(A+E).42(1)若AX=AYX=Y(2)若AB=OB=O证：A－1(AX)=A－1(AY)(A－1A)X=(A－1A)YEX=EYX=Y(1)AX=AY由所以(2)由AB=O，有A－1(AB)=A－1O所以B=O(A－1A)B=O(IV).证明设A是可逆阵，试证明：432.3矩阵的秩()min(),()mnnpABrankABrankArankB和det()det()det()nnnnABABAB和1(1),nnnnABEABAB和都可逆11(2)det()det()AAA可逆定理2.12定理2.1344课堂练习：(1)|A|=n|A|(2)|AB|=|A||B|例如：1211,3412AB1