利用MATLAB实现连续信号的采样与重构仿真

课程设计说明书NO.1利用MATLAB实现连续信号的采样与重构仿真1.课程设计目的⑴掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。⑵初步掌握线性系统的设计方法，培养独立工作能力。⑶学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。⑷加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。2．课程设计的要求与内容2.1MATLAB介绍MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,故用MATLAB来解算问题要比用C,FORTRAN等语言完全相同的事情简捷得多.在新的版本中也加入了对C,FORTRAN,c++,JAVA的支持.可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。2.2设计思路连续信号是指自变量的取值范围是连续的，且对于一切自变量的取值，除了有若干个不连续点以外，信号都有确定的值与之对应。严格来说，MATLAB并不能处理连续信号，而是用等时间间隔点的样值来近似表示连续信号。当取样时间间隔足够小时，这些离散的样值就能较好地近似连续信号。时域对连续时间信号进行采样，是给它乘以一个采样脉冲序列，就可以得到采样点上的样本值，信号被采样前后在频域的变化，可以通过时域频域的对应关系分别求得了采样信号的频谱。在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值来表示，并且可以用这些样本值把信号完全恢复过来。这样，抽样定理为连续时间信号与离散时间信号的相互转换提供了理论依据。通过观察采样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，在时域是否也能恢复原信号时，利用频域时域的对称关系，得到了信号。沈阳大学课程设计说明书NO.22.3连续信号的采样2.3.1连续信号的采样原理信号采样原理图如图1所示：图1信号采样原理图由图1可见，)()()(ttftfsTs，其中，冲激采样信号)(tsT的表达式为：nsTnTtts)()(其傅立叶变换为nssn)(，其中ssT2。由于)(jF，)(jFs分别为)(tf，)(tfs的傅立叶变换函数，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得nssnsssnjFTnjFjF)]([1)(*)(21)(若设)(tf是带限信号，带宽为m，)(tf经过采样后的频谱)(jFs就是将)(jF在频率轴上搬移至,,,,,02nsss处（幅度为原频谱的sT1倍）。因此，当ms2时，频谱不发生混叠；而当ms2时，频谱发生混叠。一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(tT的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*te，是连续输入信号)(te调制在载波)(tT上的结果，如图2所示：沈阳大学课程设计说明书NO.3(a)连续时间信号(b)取样脉冲序列（c）取样信号图2信号的采样用数学表达式描述上述调制过程，则有:)()()(*tteteT理想单位脉冲序列)(tT可以表示为:0)()(nTnTtt其中)(nTt是出现在时刻nTt，强度为1的单位脉冲。由于)(te的数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设00)(tte所以)(*te又可表示为：*0()()()netenTtnT2.3.2连续信号的采样定理模拟信号经过(A/D)变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率fs，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率sf，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍。时域采样定理从采样信号)(tfs恢复原信号)(tf必需满足两个条件：⑴)(tf必须是带限信号，其频谱函数在m||各处为零；沈阳大学课程设计说明书NO.4⑵取样频率不能过低，必须满足msff2（即ms2），或者说取样间隔不能太长，必须满足msfT2/1，否则将会发生混叠。当采样频率ms2时，频谱不发生混叠；而当ms2时，频谱发生混叠。则采样离散信号)(*t能无失真地恢复到原来的连续信号)(t。一个频谱在区间),(mm以外为零的频带有限信号)(tf，可唯一的由其在均匀间隔sT)21(msfT上的样点值)(snTf所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理推出频域采样定理。一个时间受限信号tf，它集中在（mm,）的时间范围内，则该信号的频谱jF在频域中以间隔为1的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1jF可以惟一表示原信号的重复周期mtT21，或频域间隔mtf2121（其中112T）。采样信号)(tfs的频谱是原信号频谱)(jF的周期性重复，它每隔s重复出现一次。当ms2时，不会出现混叠现象，从而能从采样信号)(tfs中恢复原信号tf。连续信号与采样信号(ms2)时的比较如图3所示：连续信号与采样信号(ms2)时的比较如图4所示：连续信号与采样信号(ms2)时的比较如图5所示：图3连续信号与采样信号(ms2)时的比较沈阳大学课程设计说明书NO.5图4连续信号与采样信号(ms2)时的比较图5连续信号与采样信号(ms2)时的比较2.3.3信号采样采样器的作用是把连续信号变为脉冲或数字序列。一连续信号f(t)经采样器采样后变为离散信号的过程如图6所示：沈阳大学课程设计说明书NO.6图6连续信号f(t)经采样器采样后变为离散信号过程2.4信号重构设信号)(tf被采样后形成的采样信号为)(tfs，信号的重构是指由)(tfs经过内插处理后，恢复出原来信号)(tf的过程,又称为信号恢复。若设)(tf是带限信号，带宽为m，经采样后的频谱为)(jFs。设采样频率ms2，则由式（9）知)(jFs是以s为周期的谱线。现选取一个频率特性ccsTjH0)(（其中截止频率c满足2scm）的理想低通滤波器与)(jFs相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)(jF。)()()(jHjFjFs与之对应的时域表达式为)(*)()(tfthtfs而nssnssnTtnTfnTttftf)()()()()()()]([)(1tSaTjHFthccs将)(th及)(tfs代入得nscscsccssnTtSanTfTtSaTtftf)]([)()(*)()(此式即为用)(snTf求解)(tf的表达式，是利用MATLAB实现信号重构的基本关系式，抽样函数)(tSac在此起着内插函数的作用。)(tf，由时域采样定理知采样间隔msT，取7.0sT（过采样）。利用MATLAB的抽样函数tttSinc)sin()(来表示)(tSa，有)/()(tSinctSa。据此可知：nscscsccssnTtSincnTfTtSaTtftf)]([)()(*)()(通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为wm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Tsπ/wm,该取样间隔又称为沈阳大学课程设计说明书NO.7奈奎斯特间隔。根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：][][*][*][*][scnscsccssnstsjwsnTtwSanTfwTtwSawTnTtnTfthfjwHIFTFIFTtf式中的抽样函数Sa(wct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。利用MATLAB中的抽样函数来表示Sa(t)，有，，于是，信号重构的内插公式也可表示为：snsnTtnTftf[]*[twSawTccs]=][sinscnscsnTtwcnTfwT3.课程设计的主要内容3.1详细设计过程3.1.1Sa(t)的临界采样及重构⑴实现程序代码：当采样频率等于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为临界采样。修改门信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。Sa(t)的临界采样及重构程序代码；wm=1;%升余弦脉冲信号带宽wc=wm;%频率Ts=pi/wm;%周期ws=2.4*pi/Ts;%理想低通截止频率n=-100:100;%定义序列的长度是201nTs=n*Ts%采样点沈阳大学课程设计说明书NO.8f=sinc(nTs/pi);%抽样信号Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信号重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');grid;⑵程序运行运行分析与结果图①程序分析：Sa(t)=sinc(t/pi)%利用sinc函数生成函数Sa(t)Pi%圆周率n=-170:170;%时域采样点t=-45:Dt:45%产生一个时间采样序列fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))))%信号重构sinc(t1/pi)%绘制f1的非的非零样值向量plot(t,fa)%绘制fa的图形stem(t1,f1)%绘制一个二维杆图②程序运行结果图如图7所示：沈阳大学课程设计说明书NO.9图7)(tSa的临界采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算出两信号的绝对误差。当t选取的数据越大，起止的宽度越大。3.1.2Sa(t)的过采样及重构⑴实现程序代码当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的2倍，即ms2时，称为过采样.Sa(t)的过采样及重构程序代码：wm=1;wc=1.1*wm;Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts;沈阳大学课程设计说明书NO.10n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采样信号');subplot(312);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的过采样信号重构sa(t