概率论与随机过程课件 3.1

第3章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量及其分布3.2边缘分布与随机变量的独立性3.3条件分布3.4两个随机变量函数的分布3.5n维随机变量简介一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.1．定义：设X1(ω),…,Xn(ω)为定义在样本空间Ω上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1,…,Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。对于多维随机变量,需要考虑①n维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布；②还要研究每个分量的概率分布；③并且还要考察各分量之间的联系。3.1二维随机变量及其分布3.1.1二维随机变量及其分布函数定义：若对任意xk∈R,k=1,2,…n,称ｎ元函数nkkknnnxXPxXxXxXPxxxF1221121,,,),,,(为随机向量(X1,…,Xn)的(联合)分布函数。注释(1)事件{X1≤x1,…,Xn≤xn}是n个事件{Xk≤xk}同时发生的概率，故称为联合分布函数。(2)F(x1,x2,…,xn)是普通的n元函数，这样，我们就把对随机向量的研究转化为对普通n元函数的研究。(3)二维随机向量(X,Y)可以看成平面上随机点的坐标。则(X,Y)分布函数F(x,y)=P{Xx,Yy}在(x,y)处的函数值就是随机点(x,y)落在如图所示的以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形闭区域上的概率。(1).F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对于任意固定的y,当x2x1时，F(x2,y)≥F(x1,y)；对于任意固定的x,当y2y1时，F(x,y2)≥F(x,y1)且0≤F(x,y)≤1。因为{X≤x1,Y≤y}{X≤x2,Y≤y}.(2).对于任意固定的y,F(-∞,y)=0；对于任意固定的x,F(x,-∞)=0；F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1。2.二维分布函数的性质证：只证F(-∞,y)=0。因为0≤P{X≤x,Y≤y}≤P{X≤x,Y+∞},所以0≤F(x,y)≤FX(x),令x→-∞,于是F(-∞,y)=0。(3).F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续.证：只证F(x,y)=F(x+0,y)。因为F(x+△x,y)=F(x,y)+P{xX≤x+△x,Y≤y},而P{xX≤x+△x,Y≤y}=F(x+△x,y)-F(x,y)≤P{xX≤x+△x}→0(△x→0).故所证结论成立。(4).对于任意(x1,y1),(x2,y2)，x1x2,y1y2,下述不等式成立:F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0,事实上，因为P{x1Xx2,y1Yy2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0,如图0x1x2xy1y2y二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数),(),(yYxXPyxFyx,)()(xXPxFxX的分布函数一维随机变量X1．定义：若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,…记P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…则称下列一组等式P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…为随机向量(X,Y)的(联合)分布律.3.1.2二维离散型随机变量及其分布律常用表格表示(X,Y)的分布律：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…………………xipi1pi2…pij…………………(1).pij≥0,i,j=1,2,…(2)，111ijijp1))},{(()(1111ijijijjipyYxXPP因为2.分布律的性质二维随机变量（X,Y）联合分布离散型,),(ijjipyYxXPi,j=1,2,…ijijijpjip1,2,1,,0X和Y的联合分布律,)(kkpxXPk=1,2,…离散型一维随机变量X,0kpkkp1k=1,2,…X的分布律例1:一整数X，随机地在1，2，3，4四个数中取任一值，另一整数Y随机地在1—X中取值，求(X,Y)的分布律。解：XY123411/41/4*1/21/4*1/31/4*1/4201/4*1/21/4*1/31/4*1/43001/4*1/31/4*1/440001/4*1/4若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…则(X,Y)的分布函数为yyxxijjipyxF,),(其中和式是对一切满足xi≤x,yj≤y求和。3.分布律与分布函数的关系例若(X,Y)的分布律如下表，YX0101/20101/2求(X,Y)的分布函数。解1,1110,1210,1021000),(yxyxyxyxyxF或yx111.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有dudvvufyxFyx),(),(则称(X,Y)是连续型二维随机向量,函数f(x,y)称为二维向量(X,Y)的(联合)概率密度..1),(),(2.0),(1Fdxdyyxfyxf）（）（2．概率密度f(x,y)的性质3.1.3二维连续型随机变量及其概率密度(3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有.),(),(),(),(2yxdudvvufyxFyxfyxyxF因为(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G内的概率为:GdxdyyxfGYXP),(}),{(在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2,介于它和xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4,P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲面z=f(x,y)为顶面的柱体体积。badxxf)(连续型一维随机变量XX的密度函数1)(dxxf0)(xf}{bXaP二维随机变量（X,Y）连续型),(yxfX和Y的联合密度函数0),(yxf1),(dxdyyxfdxdyyxfA),(}),{(AyxP2A例1:设二维随机变量(X,Y)具有概率密度其他0,0,0,2),()2(yxeyxfyx(i)求分布函数F(x,y);(ii)求概率P{Y≤X}解:(i)0,0,0,2),(),(00)2(其他yxdxdyedxdyyxfyxFyxyxyx其他即有0,0,0)1)(1(),(2yxeeyxFyx(ii)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标.即有{Y≤X}={(X,Y)∈G}其中G为xy平面上直线y=x下方的部分,如图,于是0)2(312),(}),{()(yyxGdxedydxdyyxfGYXPXYP1均匀分布定义:设G是平面上的有限区域,面积为A,若二维随机向量(X,Y)具有概率密度.其他0),(1),(GyxAyxf则称(X,Y)在G上服从均匀分布。3.1.4两个重要的二维连续型型变量向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标（X,Y）在G上服从均匀分布.(二)二维正态分布定义:若(X,Y)具有概率密度yxeyxfyyxx,121),(])())((2)([)1(212212222212121212其中-∞μ1+∞,-∞μ2+∞,σ10,σ20,|ρ|1,则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ21,σ22,ρ的二维正态分布，记为:(X,Y)N(μ1,μ2,σ21,σ22,ρ).例若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求:(X,Y)的概率密度与分布函数。y-1/20xD1解：其他的面积0),(41),()1(11DyxDyxfxydvduvufyxF),(),()2(D1D5D4D2D3uv（1）1)(x,y)∈D2，D2:y0,或x-1/2F(x,y)=02)(x,y)∈D1，D1:-1/2≤x0,0≤y2x+112)1(210244),(yyxydudvyxFxvyD1uv（2）3)(x,y)∈D4D4:0≤y1,0≤x20)1(21024),(yydudvyxFvyD4uv（3）-1/24)(x,y)∈D3D3:-1/2x0,y2x+1212021)12(4),(xdvduyxFux5)(x,y)∈D5，D5:x0,y1F(x,y)=1D3uv（4）D5uv（5）