余数专题

第六讲余数教师：陈文静学习目标•1、和、差、积的余数同余余数的和、差、积。•2、掌握多个数除以一个数求除数的问题；•3、掌握一个数除以多个数求被除数的问题，包括余同、差同、和同；•4、理解中国剩余定理的解题思想及操作方法；•5、掌握逐步满足法解决非余同、差同、和同问题。物不知数与同余课前小故事（一）余数的可加性：(1)73＋34的和除以10的余数是________;3+4的和除以10是______那么我们就说73+34与3+4关于10同余注：若余数的和超过了除数，那么所求的余数就等于和除以除数所得的余数。77和的余数等于余数的和一、求余数1、动手算一算89876+5549的和除以10的余数是多少呢？89876÷10=8987......65549÷10=554......96+9=1515÷10=1......5重点：任何整数除以10所得的余数就是其个位数字。（二）余数的可减性：例：73－34的差除以10的余数是________；3+10－4的差除以10的余数是_______.那么我们就说73－34与13－4关于10同余。注：若余数的差小于0，那么我们前一个余数加上除数，再减去后一个余数。2、动手操练31876－7564之差除以5的余数是多少？31876除以5的余数是17564除以5的余数是4根据余数的可减性（1+5）－4除以5的余数是2所以31876－7564之差除以5的余数是2。99差的余数等于余数的差（三）余数的可乘性：73×34的积除以10的余数是_______;3×4的积除以10的余数是________。73×34与3×4关于10同余。注：若余数的积超过了除数，那么所求的余数就等于余数的积除以除数所得的余数。22积的余数等于余数的积。3、1+2+3+...+2006不求和，你能直接求出其除以7的余数是多少吗？(1+2006)×(2006÷2)=2007×1003根据余数的可乘性：积的余数等于余数的积2007÷7=386......51003÷7=143......25×2÷7=1......3答：它除以7的余数是3.4、今天是星期六，再过天是星期几？319=19×19×19根据余数的可乘性，积的余数等于余数的积19÷7=2......55×5×5÷7=17......6所以再过天是星期五。3193195、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人，两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车.参观完，甲代表团的每个的成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念，那么拍完最后一张照片后，照相机里的胶卷还可拍多少张照片（每个胶卷可拍36张照片）。解设甲代表团需要m辆车，乙代表团需要n辆车那么甲代表团总共有36m+11人，乙代表团总共有36n+（36-11）人甲代表团的每个的成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，总照片数=（36m+11）×（36n+25）根据余数的可乘性积的余数等于余数的积11×25÷36=7.....23所以（36m+11）×（36n+25）÷36的余数就是23答：照相机里的胶卷还可拍23张照片。6、求除以7的余数。89143根据二项式定理所以求除以7的余数，也就是求除以7的余数。也就是求除以7的余数也就是求除以7的余数答：除以7的余数是5。rrnnrrnC3140)3140(14308989891438933)27(393444489324432)17(322144432121451712732121489143总结：（1）余数的可加性：和的余数等于余数的和；（2）余数的可减性：差的余数等于余数的差；（3）余数的可乘性：积的余数等于余数的积。所以以上三个定理还可以简单的记为：和、差、积的余数同余余数的和、差、积。知识点回顾【热身】求最大公因数、最小公倍数：（36,84）=（10,12,30）=（38,57,95）=[36,48]=[10,12,30]=二、求除数两个数除以一个数的余数问题，多采用消除余数后求因数的方法来解决。解题思想可推广到多个数除以一个数。【回顾】有一个大于1的整数，用它除300，262，205，得到相同的不为零的余数，求这个整数。300-262=38=19×2262-205=57=19×3300-205=95=19×5所以这个整数是19。【拓展】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33。求这个数？设这个数为X543÷X-345÷X=33198=33XX=6答：这个数是6。例1、一个大于1的数去除300，245，210时，得余数为a，a＋2，a＋5，那么这个自然数是多少？245-2=243210-5=205300-243=57=19×3243-205=38=19×2300-205=95=19×5所以这个自然数是19。【随堂练】1991和1769除以某一自然数n，余数分别为2和1，那么n最小是多少？1989-1768=221=13×17n可能的取值是13或者17。答：n最小是13。例2、甲乙丙三数分别为603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。求A等于多少？939×2=18781878-603=1275=3×5×5×17393×4=15721572-603=969=3×17×19393×2=786939-786=153=3×3×17因为甲数所得的余数是丙数所得余数的4倍，除3所得的余数不可能有4倍的关系，所以A不可能是3，故3舍去。那么A可能是17或是3×17=51。603÷17=35.......8939÷17=55.......4393÷17=23.......2余数关系完全满足上述条件综合上述，A等于17。603÷51=11.......42939÷51=18.......21393÷51=7.......36余数关系不满足上述条件三、求被除数求被除数问题一般分为“余同”和“差同”及两种类型，“和同”问题可转化为“余同”问题。余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。1.和同转化余同【回顾】一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数是几？5+3=87+1=8转化为余数均为8根据余同取余，最小公倍数做周期5×7×9=315315+8=323答：满足条件的最小自然数是323。2.差同例3、大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你面前有一条长长的阶梯，如果你每步跨2级，最后剩下1级；如果你每步跨3级，最后剩下2级；如果你每步跨5级，最后剩下4级；如果你每步跨6级，最后剩下5级；只有当你每步跨7级时，最后正好走完，1级不剩。这条阶梯最少有多少级。[2,3,5,6]=30所以满足前四个数最小的是30-1=29，以30为周期。29+30×1=59不能整除7，舍去29+30×2=89不能整除7，舍去29+30×3=119能整除7答：这条阶梯最少有119级。3.余、和、差均不相同的情况：利用中国剩余定理解决。①趣题：中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”②口诀诗：程大位的算法口诀诗，就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为中国剩余定理或孙子定理，是我国古代数学的一项辉煌成果.我们就从上述四句诗中来找答案：“三人同行七十稀”，把除以3所得的余数用70乘.“五树梅花廿一枝”，把除以5所得的余数用21乘。“七子团圆正半月”，把除以7所得的余数用15乘。“除百零五便得知”，把上述三个积加起来，减去105的倍数，所得的差即为所求.列式为2×70＋3×21＋2×15＝233，233－105×2＝23③释疑为什么70、21、15、105有如此神奇的作用？70、21、15、105是从何而来？先看70、21、15、105的性质，70除以3余1，被5、7整除，所以70除以3余1，也被5、7整除；（这里为什么不是其他两个数的积，而是5×7×2=70，因为70除以3余1）21除以5余1，被3、7整除，所以21除以5余1，也被3、7整除；15除以7余1，被3、5整除，所以15除以7余1，被3、5整除。而105则是3、5、7的最小公倍数。70+21+15是被3除余1，被5除余1，被7除余1的数？这个数如果大了，还要减去它们的公倍数。【思考】①15的倍数中，除以7余1的最小数是多少？15×1÷7=2......1②21的倍数中，除以5余1的最小数是多少？21×1÷5=4......1③35的倍数中，除以3余1的最小的数是多少？35×2÷7=2......1例4、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数是多少？70×2+21×3+15×4=2633×5×7=105263-105×2=53答：满足条件的最小自然数是53。【随堂练】一个三位数除以9余6，除以4余2，除以5余1，这个三位数最大是多少？100×6+45×2+36×1=7269×4×5=180726+180=906所以这个数最大是906。例5、刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只。请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？70×2+21×4+15×5=2997×5×3=105299+105=404答：刘叔叔一共养了404只兔子。【随堂练】一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求1000以内这样的数有多少个？126×3+175×4+120×1=11985×6×7=2101198-210=9881198-210×2=7781198-210×3=5681198-210×4=3581198-210×5=148答：1000以内这样的数有5个。•1、求除数的余数问题，一般都需要结合求因数来解决；•2、求被除数的余数问题，一般都需要结合求倍数来解决；•3、和同问题可转化为余同问题；•4、对于非和同、差同、余同问题，一般采用中国剩余定理或逐步满足法求解。