2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习(课件 课时跟踪检测 教学案)第二部分 板块(一) (三

(三)函数方程稳妥实用函数与方程思想的含义函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.函数与方程思想在解题中的应用1函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．2三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．3数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．4解析几何中有关的求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．5立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.函数与方程思想在不等式中的应用[典例]设不等式2x－1m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．[解]问题可以变成关于m的不等式：即(x2－1)m－(2x－1)0在[－2,2]上恒成立，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则f2＝2x2－1－2x－10，f－2＝－2x2－1－2x－10，即2x2－2x－10，2x2＋2x－30，解得7－12x3＋12，故x的取值范围为7－12，3＋12.一般地，对于多变元问题，需要确定合适的变量和参数，反客为主，主客换位思考，创设新的函数，并利用新的函数创造性地使原问题获解．求解本题的关键是变换自变量，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题．[技法领悟][应用体验]1．若0x1x21，则()A．ex2－ex1lnx2－lnx1B．ex2－ex1lnx2－lnx1C．x2ex1x1ex2D．x2ex1x1ex2解析：设f(x)＝ex－lnx(0x1)，则f′(x)＝ex－1x＝xex－1x.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex与y＝1x的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A、B选项不正确．答案：C设g(x)＝exx(0x1)，则g′(x)＝exx－1x2.又0x1，∴g′(x)0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．又0x1x21，∴g(x1)g(x2)，∴x2ex1x1ex2，故选C．2．已知定义在R上的函数g(x)的导函数为g′(x)，满足g′(x)－g(x)＜0，若函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，且g(4)＝1，则不等式gxex＞1的解集为________．解析：∵函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，∴g(0)＝g(4)＝1.设f(x)＝gxex，则f′(x)＝g′xex－gxexex2＝g′x－gxex.又g′(x)－g(x)＜0，∴f′(x)＜0，∴f(x)在R上单调递减．又f(0)＝g0e0＝1，∴f(x)＞f(0)，∴x＜0.答案：(－∞，0)3．已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立，求x的取值范围．解：∵t∈[2，8]，∴f(t)∈12，3.原题转化为m(x－2)＋(x－2)20恒成立，当x＝2时，不等式不成立，∴x≠2.令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3.问题转化为g(m)在m∈12，3上恒大于0，则g120，g30，即12x－2＋x－220，3x－2＋x－220，解得x2或x－1.∴x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用[典例](1)若方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2上有解，则a的取值范围是________．[解析]法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sinx，设f(x)＝－cos2x＋sinx，x∈0，π2，显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解．因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝sinx＋122－54，且由x∈0，π2知sinx∈(0,1]，易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]．法二：令t＝sinx，由x∈0，π2，可得t∈(0,1]．将方程变为t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解，设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－12，如图所示．因此，f(t)＝0在(0,1]上有解等价于f00，f1≥0，即－1－a0，1－a≥0，所以－1a≤1，故a的取值范围是(－1,1]．[答案](－1,1](2)已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，则对于任意实数x，y，|c－xa－yb|的最小值为________．[解析]由题意可知|a|＝|b|＝1，a·b＝0，又|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc·a－2yc·b＋2xya·b＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4，当且仅当x＝2，y＝1时，(|c－xa－yb|2)min＝4，所以|c－xa－yb|的最小值为2.[答案]2(1)研究此类含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．[技法领悟][应用体验]4．(2018届高三·广东五校协作体第一次诊断考试)已知向量a＝(λ，1)，b＝(λ＋2,1)，若|a＋b|＝|a－b|，则实数λ的值为()A．－1B．2C．1D．－2解析：法一：由|a＋b|＝|a－b|，可得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，故a·b＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.法二：a＋b＝(2λ＋2,2)，a－b＝(－2,0)，由|a＋b|＝|a－b|，可得(2λ＋2)2＋4＝4，解得λ＝－1.答案：A5．若关于x的方程2sin2x＋π6＝m在0，π2上有两个不等实根，则m的取值范围是()A．(1，3)B．[0,2]C．[1,2)D．[1，3]解析：2sin2x＋π6＝m在0，π2上有两个不等实根等价于函数f(x)＝2sin2x＋π6的图象与直线y＝m有两个交点．在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，由图可知m的取值范围是[1,2)．答案：C6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝－14，则a＝________.解析：在△ABC中，由cosA＝－14，可得sinA＝154，所以12bc×154＝315，b－c＝2，a2＝b2＋c2－2bc×－14，解得a＝8，b＝6，c＝4.答案：8函数与方程思想在数列中的应用[典例]已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．[解](1)因为a1＝2，a23＝a2(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，(列出方程)解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n.(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，则bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n＝1n＋1n＋2＋1n＋2n＋3＋…＋12n2n＋1＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1＝1n＋1－12n＋1＝n2n2＋3n＋1＝12n＋1n＋3，令f(x)＝2x＋1x(x≥1)，(构造函数)则f′(x)＝2－1x2，当x≥1时，f′(x)0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝16，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝16，所以实数k的最小值为16.本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出bn的表达式，说明要求bn≤k恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)＝2x＋1x(x≥1)，利用函数求解．[技法领悟][应用体验]7．(2017·洛阳第一次统一考试)等差数列{an}为递增数列，若a21＋a210＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d的值为()A．1B．2C．9D．10解析：依题意得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，∴a1a10＝10.又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1a10，∴a1＝1，a10＝10，d＝a10－a110－1＝1.答案：A8．设数列{an}，{bn}满足a1＝a0，an＋1＝n＋12nan，且bn＝ln(1＋an)＋12a2n，n∈N*，证明：2an＋2anbn1.证明：由a1＝a0，an＋1＝n＋12nan知，an0(n∈N*)，故bn0(n∈N*)．因为anbn1，所以bn－an0，构造函数f(x)＝ln(1＋x)＋12x2－x(x0)，则其导数f′(x)＝11＋x＋x－1＝x2x＋1，当x0时，f′(x)0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)f(0)＝0，即bn－an0，所以anbn1.因为2an＋2anbn，所以ln(1＋an)－an0，构造函数g(x)＝ln(1＋x)－x(x0)，则导函数g′(x)＝11＋x－1＝－xx＋1，当x0时，g′(x)0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，故g(x)g(0)＝0，所以ln(1＋an)－an0，所以ln(1＋an)＋12a2nan＋12a2n，即bnan＋12a2n，所以anbn2an＋2，所以2an＋2anbn1.函数与方程思想在解析几何中的应用[典例]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(1,0)，如图所示，设左顶点为A，上顶点为B，且OF―→·FB―→＝AB―→·BF―→.(1)求椭圆C的方程；(2)若过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定FM―→·FN―→的取值范围．[解](1)由已知，A(－a,0)，B(0，b)，F(1,0)，则由OF―→·FB―→＝AB―→·BF―→，得b2－a－1＝0.∵b2＝a2－1，∴a2－a－2＝0，解得a＝2.(列出方程)∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)①若直线l斜率不存在，则l：x＝1，此时M1，32，N1，－32，FM―→·FN―→＝－94.②若直