小专题(十) 线段的计算(选做)

第四章几何图形初步小专题线段的计算类型1直接计算1．如图，线段AB＝22cm，C是AB上一点，且AC＝14cm，O是AB的中点，求线段OC的长度．因为点O是线段AB的中点，AB＝22cm，所以AO＝12AB＝11cm.所以OC＝AC－AO＝14－11＝3(cm)．2．如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：(1)延长线段AB到点C，使BC＝2AB，取AC中点D；(2)在(1)的条件下，如果AB＝4，求线段BD的长度．(1)图略．(2)因为BC＝2AB，且AB＝4，所以BC＝8.所以AC＝AB＋BC＝8＋4＝12.因为D为AC中点，所以AD＝12AC＝6.所以BD＝AD－AB＝6－4＝2.3．画线段AB＝3cm，在线段AB上取一点K，使AK＝BK，在线段AB的延长线上取一点C，使AC＝3BC，在线段BA的延长线上取一点D，使AD＝12AB.(1)求线段BC，DC的长；如图所示：BC＝1.5cm，DC＝6cm.(2)点K是哪些线段的中点？AB，DC.4．(睢宁县期末)如图，C为线段AB的中点，点D在线段CB上．(1)图中共有________条线段；(2)图中AD＝AC＋CD，BC＝AB－AC，类似地，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式；6答案不唯一，如①BC＝CD＋DB；②AD＝AB－DB.(3)若AB＝8，DB＝1.5，求线段CD的长．因为C为线段AB的中点，AB＝8，所以CB＝12AB＝4.所以CD＝CB－DB＝2.5.类型2方程思想5．如图，点C在线段AB上，AC∶BC＝3∶2，点M是AB的中点，点N是BC的中点，若MN＝3cm，求线段AB的长．因为AC∶BC＝3∶2，所以设AC＝3x，BC＝2x.所以AB＝AC＋BC＝3x＋2x＝5x.因为点M是AB的中点，点N是BC的中点，所以BM＝2.5x，BN＝x.所以MN＝BM－BN＝1.5x.因为MN＝3cm，所以1.5x＝3.解得x＝2.所以AB＝10cm.6．如图，线段AB被点C、D分成了3∶4∶5三部分，且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，求AB的长．设AB的长为xcm.因为线段AB被点C、D分成了3∶4∶5三部分，所以AC＝312x，CD＝412x，DB＝512x.又因为AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm，所以MC＝324x，DN＝524x.所以324x＋412x＋524x＝40.解得x＝60.所以AB的长60cm.7.如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝13AB＝14CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，求AB，CD的长．设BD＝xcm，则AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm.因为点E、F分别为AB、CD的中点，所以AE＝12AB＝1.5xcm，CF＝12CD＝2xcm.所以EF＝AC－AE－CF＝6x－1.5x－2x＝2.5x(cm)．因为EF＝10cm，所以2.5x＝10.解得x＝4.所以AB＝12cm，CD＝16cm.8．已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上．(1)若AB＝6，BD＝13BC，求线段CD的长度；如图1：图1因为点C是线段AB的中点，AB＝6，所以BC＝12AB＝3.因为BD＝13BC，所以BD＝13×3＝1.所以CD＝BC－BD＝3－1＝2.(2)点E是线段AB上一点，且AE＝2BE，当AD∶BD＝2∶3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系，请说明理由．如图2：图2设AD＝2x，BD＝3x，则AB＝5x.因为点C是线段AB的中点，所以AC＝12AB＝52x.所以CD＝AC－AD＝52x－2x＝12x.因为AE＝2BE，所以AE＝23AB＝103x.所以CE＝AE－AC＝103x－52x＝56x.所以CD∶CE＝12∶56＝3∶5.类型3整体思想如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．(1)如果AB＝10cm，AM＝3cm，求CN的长；因为M是AC的中点，所以AC＝2AM.因为AM＝3cm，所以AC＝2×3＝6(cm)．因为AB＝10cm，所以BC＝AB－AC＝10－6＝4(cm)．又因为N是BC的中点，所以CN＝12BC＝12×4＝2(cm)．(2)如果MN＝6cm，求AB的长．因为M是AC的中点，所以MC＝12AC.因为N是BC的中点，所以CN＝12CB.所以MC＋CN＝12AC＋12CB＝12(AC＋CB)＝12AB，即MN＝12AB.又因为MN＝6cm，所以AB＝2×6＝12(cm)．10．如图，C为线段AB上一点，D是线段AC的中点，E为线段CB的中点．(1)如果AC＝6cm，BC＝4cm，试求DE的长；CD＝12AC＝3cm，CE＝12BC＝2cm，所以DE＝CD＋CE＝5cm.(2)如果AB＝a，试求DE的长度；因为CD＝12AC，CE＝12BC，所以DE＝CD＋CE＝12AC＋12BC＝12(AC＋BC)＝12AB＝12a.(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝bcm，D、E分别为AC、BC的中点，你能猜想DE的长度吗？写出你的结论，不需要说明理由．DE＝12bcm.1.(石柱县期末)如图所示，已知C、D是线段AB上的两个点，点M、N分别为AC、BD的中点．(1)若AB＝10cm，CD＝4cm，求AC＋BD的长及M、N的距离；因为AB＝10cm，CD＝4cm，所以AC＋BD＝AB－CD＝10－4＝6(cm)．因为M、N分别为AC、BD的中点，所以AM＋BN＝12AC＋12BD＝12(AC＋BD)＝3cm.所以MN＝AB－(AM＋BN)＝10－3＝7(cm)．(2)如果AB＝a，CD＝b，用含a、b的式子表示MN的长．根据(1)的结论，有AM＋BN＝12AC＋12BD＝12(AC＋BD)＝12(a－b)，所以MN＝AB－(AM＋BN)＝a－12(a－b)＝12(a＋b)．类型4分类思想12．已知M为线段AB的三等分点，且AM＝6，求线段AB的长．当M为靠近A的三等分点时，如图1，图1因为AM＝13AB，所以AB＝3AM＝18；当M为靠近B的三等分点时，如图2，图2因为AM＝23AB，所以AB＝32AM＝9.所以AB的长为18或9.13．已知线段AB＝60cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝20cm，点D是AC的中点，求CD的长度．当点C在线段AB上时，如图1，图1CD＝12AC＝12(AB-BC)＝12(60-20)＝12×40＝20(cm)；当点C在线段AB的延长线上时，如图2，图2CD=12AC=12(AB+BC)=12(60+20)=12×80=40(cm)．所以CD的长度为20cm或40cm.类型5动态问题14．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．(1)当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝________，AQ＝________；5－t10－2t(2)当t＝2时，求PQ的值；当t＝2时，AP＜5，点P在线段AB上；OQ＜10，点Q在线段OA上，如图所示：此时PQ＝OP－OQ＝(OA＋AP)－OQ＝(10＋t)－2t＝10－t＝8.(3)当PQ＝12AB时，求t的值．PQ＝|OP－OQ|＝|(OA＋AP)－OQ|＝|(10＋t)－2t|＝|10－t|.因为PQ＝12AB，所以|10－t|＝2.5.解得t＝7.5或t＝12.5.