微元法在高考物理中的应用

1微元法在高考物理中的应用河南省信阳高级中学陈庆威2013.10.06微元法是高中物理中的一个重要的思想方法。因其近年来在江苏高考物理试题中的频繁出现，尤其是它在2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷I）第25题中的闪亮登场，让它在我们的高考备考中的地位变得更加重要。很多同学在学习过程中对这类问题因陌生而感到头痛，想集中训练又苦于很难在较短时间里收集到较好的题型，对很多顶尖的学生来说这类问题做起来也往往心有余而力不足。希望通过以下几个典型的微元法试题的训练，能让你从陌生到熟练。一、从真题中练方法例题1.（2013全国课标卷I）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：⑴电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；⑵金属棒的速度大小随时间变化的关系。【答案】⑴Q=CBLv⑵22sincosmgtvmBLC【解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为mθLBC2EBLv①平行板电容器两极板之间的电势差为UE②设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有QCU③联立①②③式得QCBLv④（2）设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i，金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为1fBLi⑤设在时间间隔,ttt内流经金属棒的电荷量为Q，按定义有Qit⑥Q也是平行板电容器极板在时间间隔,ttt内增加的电荷量，由④式得QCBLv⑦式中，v为金属棒的速度变化量，按定义有vat⑧金属棒所受的摩擦力方向斜向上，大小为2fN⑨式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有cosNmg⑩金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿3第二定律有12sinmgffma⑾联立⑤至⑾式得22sincosmagmBLC⑿由⑿式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。T时刻金属棒的速度大小为22sincosmvgtmBLC⒀例题2.（2007•江苏）如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：（1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F；（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n．解：（1）线框ＭＮ边刚进入磁场时，感应电动势VBlvE4.10，4感应电流REIA14，受到安培力的大小Ｆ=NBIl8.2（2）水平方向速度为0，2021mvQJ45.2（3）用“微元法”解线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，感应电动势0BlvE，感应电流REI，受到安培力的大小Ｆ=BIl，得RvlBF22，在tt时间内，由牛顿定律：vtmF求和，vtvmRlB)(22,022vxmRlB解得mlBRmvx75.1220，线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n=375.44.075.1，取整数为4。例题3.（2008•江苏）如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2．两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直．（设重力加速度为g）（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动△Ek．（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域．且a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳5热Q．（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v．解：⑴因为a和b产生的感应电动势大小相等，按回路方向相反，所以感应电流为0，所以a和b均不受安培力作用，由机械能守恒得1sinkEmgd①⑵设导体棒刚进入无磁场区时的速度为1v,刚离开无磁场区时的速度为2v,即导体棒刚进入磁场区时的速度为2v,刚离开磁场区时的速度为1v，由能量守恒得：在磁场区域有：2212111sin22mQmmgdvv②在无磁场区域：2221211sin22mmmgdvv③解得：12()sinQmgdd⑶用微元法设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为t，在无磁场区域有：21singtvv④且平均速度：1222dtvv⑤在有磁场区域，对a棒：sinFmgBIl6且：2BlIRv解得:RvlBF2mgsin22⑥因为速度v是变量，用微元法根据牛顿第二定律,在一段很短的时间t内tmFv则有22sin2BlgtmRvv因为导体棒刚进入磁场区时的速度为2v,刚离开磁场区时的速度为1v,所以21vvv,1dtv，tt所以：122212sindmRlBgtvv⑦联立④⑤⑦式,得mRdlBdlBmgRdv8sin412212221（原答案此处一笔带过，实际上这一步很麻烦，以下笔者给出详细过程：④代入⑦得：sin4122mgRdlBt，⑧⑧代入⑤得：122221sin8dlBRmgdvv⑨⑦+⑨得：mRdlBdlBmgRdv8sin412212221。）a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等,所以a穿出任一个磁场区域时的速率v就等于1v．所以mRdlBdlBmgRdv8sin41221222。7（注意：由于a．b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以a穿出任一个磁场区域时的速率v都相等，所以所谓“第K个磁场区”，对本题解题没有特别意义。）例题4.（2009•江苏）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为。条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为d2的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置。总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为d（Ld），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求：1)装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间1t；3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离mx。8【解答】设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框的安培力做功为W由动能定理Wdmg4sinBILd0且WQ解得Qsin4mgdBILd（1）设线框刚离开磁场下边界时的速度为1v，则接着向下运动d2由动能定理dmg2sinBILd02121mv装置在磁场中运动的合力'sinFmgF感应电动势Bdv感应电流RI'安培力dBIF''由牛顿第二定律，在t到tt时间内，有tmFv则v=tmRvdBg)sin(22有1vsin1gtmRdB3229解得sin2)sin2(2321mgRdBmgdBILdmt（2）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离mx之间往复运动，由动能定理mxmgsin)(dxBILm0解得sinmgBILdBILdxm。二、在强化训练中提升能力1.（2004哈尔滨）如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：（1）、ab、cd棒的最终速度；（2）、全过程中感应电流产生的焦耳热。2.(1999上海）如图所示，长电阻r＝0.3Ω、m＝0.1kg的金属棒CD垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，两导轨间距也是L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有R＝0.5Ω的电阻，量程为0～3.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为0～1.0V的电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平10面。现以向右恒定外力F使金属棒右移。当金属棒以v＝2m/s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏。问：⑴此满偏的电表是哪个表？说明理由。⑵拉动金属棒的外力F多大？（3）此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上。求从撤去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量。3.（2004广州）如图所示，金属棒ab质量m＝5g，放在相距L＝1m、处于同一水平面上的两根光滑平行金属导轨最右端，导轨距地高h＝0.8m，电容器电容C＝400μF，电源电动势E＝16V，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中。单刀双掷开关S先打向1，稳定后再打向2，金属棒因安培力的作用被水平抛出，落到距轨道末端水平距离x＝6.4cm的地面上；空气阻力忽略不计，取g＝10m/s2.求金属棒ab抛出后电容器两端电压有多高？4.（南京2010三模）如图所示，两根足够长的平行金属导轨由倾斜和水平两部分平滑连接组成，导轨间距mL1，倾角θ=45°，水平部分处于磁感应强度TB1的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左边界MN与导轨垂直。金属棒ab质量kgm021，电阻11R，金属xCEKh2111棒cd质量kgm2.02，电阻32R，导轨电阻不计，两棒与导轨间动摩擦因数2.0。开始时，棒ab放在斜导轨上，与水平导轨高度差mh1，棒cd放在水平轨上，距MN距离为0s。两棒均与导轨垂直，现将ab棒由静止释放，取2/10smg。求：（1）棒ab运动到MN处的速度大小；（2）棒cd运动的最大加速度；（3）若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒cd距离MN的最小距离0s。5.（2010模拟）如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距L＝1m，导轨的电阻可忽略。M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量m＝1kg、电阻r＝0.2?的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示位置起，杆ab受到大小为F＝0.5v＋2（式中v为杆ab运动的速度，力F的单位为N）、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流NchMbdaS00012随时间均匀增大。g取10m/s2，sin37°＝0.6。⑴试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，并请写出推理过程；⑵求电阻R的阻值；（3）求金属杆下滑1m所需的时间t以及此过程产生的焦耳热。6.（2012虹口二模）如图（甲）所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L为0.5m，导轨左端连接一个阻值为2Ω的定值电阻R，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒cd的电阻r=2Ω，导轨电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T。若棒以1m/s的初速度向右运动，同时对棒施加水平向右