72复数的几何意义

3.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义1.虚数单位i的基本特征是什么？（1）i2＝－1；（2）i可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立.复习巩固虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集。2.复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？a＋bi（a，b∈R）；实部和虚部分别相等.复习巩固3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如何？设z＝a＋bi（a，b∈R）.当b＝0时z为实数；复习巩固当b≠0时，z为虚数；当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？复数实数虚数纯虚数复习巩固5.实数与数轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义.因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习内容.提出问题1、在什么条件下，复数z惟一确定？给出复数z的实部和虚部2、设复数z＝a＋bi（a，b∈R），以z的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数z与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？一一对应问题探究3、有序实数对（a，b）的几何意义是什么？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用什么几何量来表示？复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用直角坐标系中的点Z（a，b）来表示.xyOabZ：a＋bi问题探究（a，b）用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.形成结论一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？xyOabZ：a＋bi各象限内的点表示虚部不为零的虚数.形成结论实轴上的点表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，1、用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？有向线段的始点和终点.2、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段.xyO(a，b)问题探究3、在复平面内，复数z＝a＋bi（a，b∈R）用向量如何表示？xyOabZ：a＋bi以原点O为始点，点Z（a，b）为终点的向量.OZuuur问题探究4、复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用向量表示，向量的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，那么|a＋bi|的计算公式是什么？OZuuur22||abiab+=+xyOabZ：a＋bi问题探究5、设向量a，b分别表示复数z1，z2，若a＝b，则复数z1与z2的关系如何？规定：相等的向量表示同一个复数.6、若|z|＝1，|z|＜1，则复数z对应复平面内的点的轨迹分别是什么？单位圆，单位圆内部.问题探究例1已知复数对应的点在直线x－2y＋1＝0上，求实数m的值.222log(33)log(3)zmmim=--+-15m=典例讲评例2若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶点对应的复数.xyOZ1Z2Z3Z4z4＝2－i典例讲评例3设复数，若|z|≥5，求x的取值范围.12log4zxi=+1(0,][8,)8x??U典例讲评1.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）一一对应2.复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的向量一一对应OZuuur课堂小结3.复数z＝a＋bi与复平面内的点Z（a，b）和向量是一个三角对应关系，即OZuuur复数z＝a＋bi点Z(a，b)向量OZuuur课堂小结3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义复习巩固1.复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数z为实数、虚数、纯虚数？代数形式：z＝a＋bi（a，b∈R）.当b＝0时z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.2.复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应复平面内的点Z的坐标是什么？复数z可以用复平面内哪个向量来表示？对应点Z（a，b），用向量表示.OZuuurxyOZ(a，b)提出问题3.两个实数可以进行加、减运算，两个向量也可以进行加、减运算，根据类比推理，两个复数也可以进行加、减运算，我们需要研究的问题是，复数的加、减运算法则是什么？提出问题问题探究1、设向量m＝(a，b)，n＝(c，d),则向量m＋n的坐标是什么？m＋n＝(a＋c，b＋d)2、设向量，分别表示复数z1，z2，那么向量表示的复数应该是什么？1OZuuur2OZuuur12OZOZ+uuuruuurz1＋z2问题探究3、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，那么向量，的坐标分别是什么？1OZuuur2OZuuur12OZOZ+uuuruuur1OZuuur2OZuuur＝(a，b)，＝(c，d)，＝(a＋c，b＋d).12OZOZ+uuuruuur1OZuuur2OZuuur问题探究4、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则复数z1＋z2等于什么？z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.问题探究5、(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i就是复数的加法法则，如何用文字语言表述这个法则的数学意义？两个复数的和仍是一个复数.两个复数的和的实部等于这两个复数的实部之和，两个复数的和的虚部等于这两个复数的虚部之和.问题探究6、两个实数的和仍是一个实数，两个复数的和仍是一个复数，两个虚数的和仍是一个虚数吗？不一定.问题探究7、复数的加法法则满足交换律和结合律吗？z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).问题探究8、规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数z＝z1－z2，则复数z1等于什么？z1＝z＋z29、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z＝x＋yi，代人z1＝z＋z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？x＝a－c，y＝b－d.问题探究10、根据上述分析，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1－z2等于什么？z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i问题探究复数的减法法则：2、两个复数的差仍是一个复数.两个复数的差的实部等于这两个复数的实部之差，两个复数的差的虚部等于这两个复数的虚部之差.形成结论1、(a＋bi)-(c＋di)＝(a-c)+(b-d)i1、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则复数z1－z2对应的向量是什么？|z1－z2|的几何意义是什么？1OZuuur2OZuuur1221OZOZZZ-=uuuruuuruuuur|z1－z2|的几何意义表示复数z1，z2对应复平面内的点之间的距离.xyOZ1Z2问题探究2、设a，b，r为实常数，且r＞0，则满足|z－(a＋bi)|＝r的复数z对应复平面上的点的轨迹是什么？以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.xyOrZZ0问题探究3、满足|z－(a＋bi)|＝|z－(c＋di)|的复数z对应复平面上的点的轨迹是什么？xyOZ2Z1Z点(a，b)与点(c，d)的连线段的垂直平分线.问题探究4、设a为非零实数，则满足|z－a|＝|z＋a|，|z－ai|＝|z＋ai|的复数z分别具有什么特征？若|z－a|＝|z＋a|，则z为纯虚数或零；若|z－ai|＝|z＋ai|，则z为实数.问题探究例1计算(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i).－11i例2如图，在矩形OABC中，|OA|＝2|OC|点A对应的复数为，求点B和向量对应的复数.3i+ACuuurxyOCBA13(3)(1)22i-+++13(3)(1)22i--+-典例讲评1.复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算.2.在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理.课堂小结3.在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一.课堂小结P109练习：1，2.P112习题3.2A组：2，3.布置作业3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算1.设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1＋z2，z1－z2分别等于什么？z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i.z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i2.设z1，z2为复数，则|z1－z2|的几何意义是什么？复数z1，z2对应复平面内的点之间的距离.复习巩固1、设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd问题探究1、设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将其展开，z1z2等于什么？z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.形成结论2、(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.1、复数的乘法是否满足交换律、结合律和对加法的分配律？z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.问题探究2、对于复数z1，z2，|z1·z2|与|z1|·|z2|相等吗？|z1·z2|＝|z1|·|z2|问题探究实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.3、在实数中，与互称为有理化因式，在复数中，a＋bi与a－bi互称为共轭复数，一般地，共轭复数的定义是什么？23+23-问题探究4、复数z的共轭复数记作，虚部不为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数，那么z与在复平面内所对应的点的位置关系如何？等于什么？zz×zz22||||zzzz?=xyOZz关于实轴对称问题探究5、若复数z1＝z2·z，则称复数z为复数z1除以z2所得的商，即z＝z1÷z2.一般地，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0），如何求z1÷z2？2222()()()()abiabicdiacbdbcadicdicdicdicdcd++-+-==+++-++问题探究6、就是复数的除法法则，并且两个复数相除（除数不为0），所得的商还是一个复数，那么如何计算？2222()()acbdbcadabicdiicdcd+-+?=+++abibai+-()abiiaibibaibai+-+==--问题探究7、怎样理解？1122||||||zzzz=问题探究例1设z＝(1＋2i)÷(3－4i)×(1＋i)2求.z4255zi=-+例2设复数，若z为纯虚数，求实数m的值.333mizi+=+m＝－3典例讲评1.复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把i2换成－1，并将实部与虚部分别合并.若求几个复数的连乘积，则可利用交换律和结合律每次两两相乘.课堂小结2.复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先将除法运算式写成分式，再将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母化为实数，分子按乘法法则运算.课堂小结3.对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不要求记忆运算公式，对复数式的运算结果，一般要化为代数式.课堂小结P111练习：1，2，3.布置作业复数的概念与运算题型分析第一课时题型一：复数的混合运算例1计算：15834(1)12iiii-+-++－17－3i例2设复数z＝1－i，求的值.32(46)3zziz++-1－i题型二：复数的变式运算例3已知复数z满足，求的值.10ziz+-=2211zzzz-+++i例4已知复数z满足，求的值.110zz++=4(1)zz++－1题型三：求满足某条件的复数值例5已知复数z满足为纯虚数，且，求z的值.1izz+||4||ziz-=53iizor=-例6已知复数z满足，求z的值.21(21)zizi-=+-533iz=-题型三：求满足某条件的复数值例7已知复数z满足|z－2|＝2，且，求z的值.4zRz+?z＝4或.13zi=?题型三：求满足某条件的复数值P112习题3.2A组：4，5.P116复习参考题A组：2，3.复数的概念与运算题型分析第二课时题型四：求复数式中的实参数值例8已知复数z＝1＋i，若