多元统计分析 主成分分析

•主成分分析的基本思想•主成分的计算•主成分的性质•主成分分析的应用•主成分回归一项十分著名的工作是美国的统计学家斯通(stone)在1947年关于国民经济的研究。他曾利用美国1929一1938年各年的数据，得到了17个反映国民收入与支出的变量要素，例如雇主补贴、消费资料和生产资料、纯公共支出、净增库存、股息、利息外贸平衡等等。§1基本思想在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三新变量就取代了原17个变量。根据经济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经济发展趋势F3。更有意思的是，这三个变量其实都是可以直接测量的。斯通将他得到的主成分与实际测量的总收入I、总收入变化率I以及时间t因素做相关分析，得到下表：F1F2F3iitF11F201F3001i0.995-0.0410.057lΔi-0.0560.948-0.124-0.102lt-0.369-0.282-0.836-0.414-0.1121主成分分析的基本思想主成分分析就是把原有的多个指标转化成少数几个代表性较好的综合指标，这少数几个指标能够反映原来指标大部分的信息（85%以上），并且各个指标之间保持独立，避免出现重叠信息。主成分分析主要起着降维和简化数据结构的作用。主成分分析是把各变量之间互相关联的复杂关系进行简化分析的方法。在社会经济的研究中，为了全面系统的分析和研究问题，必须考虑许多经济指标，这些指标能从不同的侧面反映我们所研究的对象的特征，但在某种程度上存在信息的重叠，具有一定的相关性。主成分分析试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的截面数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。很显然，识辨系统在一个低维空间要比在一个高维空间容易得多。§2数学模型与几何解释假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论m个新的指标F1，F2，…，Fm(mp），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标的信息，并且相互独立。npnnppXXXXXXXXXX212222111211niiiiXXXX21其中pXXX21XXaXaXaFXXaXaXaFXXaXaXaFppppppppppp2211222221122112211111这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求原指标的线性组合Fi。)()(121XVarkXkVar所以如果不对加以限制，问题就变得无意义。1最大因此限制为单位向量。1)()(1piiiXaVarXVarijjpjijiipiiiisaasa1,122piijjpjisaa11)(XVar满足如下的条件：122221piiiaaapjijiFFCovji，，，，，，），（210)()(21pFVarFVarFVar）（主成分之间相互独立，即无重叠的信息。即主成分的方差依次递减，重要性依次递减，即每个主成分的系数平方和为1。即•2x1x1F2F••••••••••••••••••••••••••••••••••••主成分分析的几何解释平移、旋转坐标轴•2x1x1F2F••••••••••••••••••••••••••••••••••••主成分分析的几何解释平移、旋转坐标轴••2x1x1F2F•••••••••••••••••••••••••••••••••••主成分分析的几何解释平移、旋转坐标轴•旋转变换的目的是为了使得n个样品点在Fl轴方向上的离散程度最大，即Fl的方差最大。变量Fl代表了原始数据的绝大部分信息，在研究某经济问题时，即使不考虑变量F2也无损大局。经过上述旋转变换原始数据的大部分信息集中到Fl轴上，对数据中包含的信息起到了浓缩作用。Fl，F2除了可以对包含在Xl，X2中的信息起着浓缩作用之外，还具有不相关的性质，这就使得在研究复杂的问题时避免了信息重叠所带来的虚假性。二维平面上的n个点的方差大部分都归结在Fl轴上，而F2轴上的方差很小。Fl和F2称为原始变量x1和x2的综合变量。F简化了系统结构，抓住了主要矛盾。•2x1x1F2F••••••••••••••••••••••••••••••••••••主成分分析的几何解释平移、旋转坐标轴•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••§3主成分的计算先讨论二维情形212122211211ˆXXXXXXXXXnn求主成分F1和F2。21,xx观察图，我们已经把主成分F1和F2的坐标原点放在平均值所在处，从而使得F1和F2成为中心化的变量，即F1和F2的样本均值都为零。因此F1可以表示为)()(222111111xxaxxaF),(2111aa关键是，寻找合适的单位向量，使F1的方差最大。122111222211121112)(saasasaFVar2111222112112111)(aassssaa最大1问题的答案是：X的协方差矩阵S的最大特征根所对应的单位特征向量即为。并且就是F1的方差。2111,aa1推导同样，F2可以表示为)()(222211122xxaxxaF),(2212aa寻找合适的单位向量，使F2与F1独立，且使F2的方差（除F1之外）最大。2问题的答案是：X的协方差矩阵S的第二大特征根所对应的单位特征向量即为。并且就是F2的方差。2212,aa2推导求解主成分的步骤：1.求样本均值和样本协方差矩阵S;),(21xxX2.求S的特征根求解特征方程，其中I是单位矩阵，解得2个特征根0IS2121,3.求特征根所对应的单位特征向量4.写出主成分的表达式例1下面是8个学生两门课程的成绩表6585709065455565数学10090707085555545语文1x2x对此进行主成分分析。1.求样本均值和样本协方差矩阵5.6725.7121xxX5.1871.1034.323SIS2.求解特征方程＝005.1871.1031.1034.32301.103)5.187)(4.323(2化简得：09.500079.5102解得：132,9.378215.1871.1034.323S3.求特征值所对应的单位特征向量1所对应的单位特征向量，0)(11S其中21111aa0)9.3785.187(1.10301.103)9.3784.323(21112111aaaa1221211aa解得（2111,aa）=)47.0,88.0(2所对应的单位特征向量0)(22S，其中221220)1325.187(1.10301.103)1324.323(22122212aaaa1222212aa解得：)88.0,47.0(),(2212aa5.1871.1034.323S4.得到主成分的表达式)5.67(47.0)25.71(88.0211xxF第二主成分：)5.67(88.0)25.71(47.0212xxF第一主成分：5.主成分的含义通过分析主成分的表达式中原变量前的系数来解释各主成分的含义。第一主成分F1是和的加权和，表示该生成绩的好坏。1x2x第二主成分F2表示学生两科成绩的均衡性6.比较主成分重要性第一主成分F1的方差为9.3781第二主成分F2的方差为1322方差贡献率)()()(211211FVarFVarFVar%16.741329.3789.378%84.251329.378132212方差贡献率为主成分F1和F2的方差总和为219.5101329.378原变量和1x2x的方差总和为9.5105.1874.3232211ss总方差保持不变身高x1(cm)胸围x2(cm)体重x3(kg)149.5162.5162.7162.2156.5156.1172.0173.2159.5157.769.577.078.587.574.574.576.581.574.579.038.555.550.865.549.045.551.059.543.553.5例2下表是10位学生的身高1x、胸围2x、体重3x的数据。对此进行主成分分析。1.求样本均值和样本协方差矩阵2.513.772.161321xxx53.5558.3200.3011.2112.1767.46S2.求解协方差矩阵的特征方程0IS053.5558.3200.3058.3211.2112.1700.3012.1767.463.解得三个特征值15.98160.23256.13)71.0,42.0,56.0(),,(312111aaa)48.0,33.0,81.0(),,(322212aaa)53.0,85.0,03.0(),,(332313aaa和对应的单位特征向量：4.由此我们可以写出三个主成分的表达式：)2.51(71.0)3.77(42.0)2.161(56.03211xxxF)2.51(48.0)3.77(33.0)2.161(81.03212xxxF)2.51(53.0)3.77(85.0)2.161(03.03213xxxF5.主成分的含义F1表示学生身材大小。F2反映学生的体形特征三个主成分的方差贡献率分别为：%6.7931.12315.9856.160.2315.9815.98311ii%1.1931.12360.23312ii%3.131.12356.1313ii前两个主成分的累积方差贡献率为：%7.9831.12375.1213121ii7.9953.045.035.037.051.0543211xxxxxF5.155.030.008.021.075.0543212xxxxxF8.1960.060.015.042.030.0543213xxxxxF1.1118.052.000.078.030.0543214xxxxxF9.1315.029.092.019.008.0543215xxxxxF例3对88个学生5门不同课程的考试成绩进行分析，要求用合适的方法对这5门课程成绩进行平均，以对88个学生的成绩进行评比。这5门课程是：MechanicsVectors(闭)，AlgebraAnalysisStatistics(开)。1x2x4x3x5x经计算，得到5个主成分的表达式如下：这5个主成分的方差分别为679.2，199.8，102.6,83.7和31.8。前两个主成分各自的贡献率和累积贡献率为%91.611.10972.679511ii%21.181.10978.199512ii%12.80%21.18%91.615121ii在一般情况下，设有n个样品，每个样品观测p个指标，将原始数据排成如下矩阵：npnnppxxxxxxxxx.....................212222111211),...,,(21pxxxX