第八节 正弦定理和余弦定理的应用

备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线时叫俯角．(如图(a))．1．仰角和俯角上方下方第八节正弦定理和余弦定理的应用备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用[试一试]若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案：B备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用把握解三角形应用题的四步(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m解析：由正弦定理得AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．[练一练]答案：A备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．归纳起来常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．角度一两点都不可到达备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64(km)．∴A，B两点间的距离为64km.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用角度二两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2abcosα.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用解：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝2007m.即A，B两点间的距离为2007m.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用3.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________．角度三两点间可视但有一点不可到达备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝60×sin45°sin60°＝206(m)．即A，B两点间的距离为206m.答案：206m备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用[类题通法]求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用[典例]某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340米/秒)备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用点拨1欲求CH，可将其放在Rt∆ACH中求.点拨2由于在Rt∆ACH中，∠HAC=30°,故只需求出AC.点拨3在三角形ABC中，由于∠BAC＝60°，AB=100，因此设出AC，由余弦定理求值.点拨4回到Rt∆ACH中，利用正切函数求弹射高度CH.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用[解]由题意，设AC＝x，则BC＝x－217×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以CH＝AC·tan∠CAH＝1403(米)．故该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用[类题通法]求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．[针对训练]解：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40米．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用[典例]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用点拨1两艇相遇的时间相等.点拨2设在点C相遇，欲求相遇时间，可在∆ABC中利用余弦定理求解.点拨3在∆ABC中，∠ABC＝120°,设相遇时间为x，则AC＝14x，BC＝10x.点拨4在∆ABC中，利用正弦定理求sinα的值.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用[解]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用[类题通法]解决测量角度问题的注意事项(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一页下一页末页结束数学第八节正弦定理和余弦定理的应用如图所示，处于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．[针对训练]备考基础·查清热点命题·悟通迁移应用·练透课堂练通考点课下提升考能首页上一