三角形

第十四章三角形第一讲三角形的有关概念与性质【知识要点】1．三角形的概念：由不在同一直线上的三点顺次联结所组成的图形叫做三角形。由三角形的概念可知，三角形三边有以下关系：三角形任意两边之和大于第三边。2.三角形的三边与三内角是三角形的六要素。3.三角形的特殊线段：三角形的高、中线、角平分线。（1）三角形的三条高的交点在锐角三角形内、在直角三角形直角顶点、在钝角三角形外；（2）三角形的三条中线的交点在三角形内；（3）三角形的三条角平分线的交点在三角形内。4.三角形的分类（1）按角分为钝角）钝角三角形（一个内角为直角）直角三角形（一个内角皆为锐角）锐角三角形（三个内角（2）按边分）等边三角形（三边相等角形底边和腰不等的等腰三）等腰三角形（两边相等不相等）不等边三角形（三边互【注意】在做三角形分类的题目时，要注意重合的部分，比如等边三角形也属于等腰三角形和锐角三角形。5.三角形的内角和等于180°.【注意】（1）直角三角形两锐角互余。（2）n边形内角和等于（n－2）180°.6.三角形的外角：三角形内角的邻补角。由5和6我们可以推出:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。进而可知，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。7.三角形的外角和等于360°.【注意】n边形的外角和都等于360°.【学习目标】1．理解三角形的概念，理解三角线的边、角、高、中线、角平分线等有关概念以及三角形的分类；2．理解三角形的构成条件，在解题中牢记要检验两边之和是否大于第三边；3．熟练使用三角形内角和外角的性质。【典型例题】1．判定能否构成三角形【例1】下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）（A）6cm，8cm，12cm（B）8cm，12cm，15cm（C）4cm，8cm，12cm（D）cm1211cm,85cm,43【分析】利用“三角形两边之和大于第三边”判定。小技巧：已知最大边的情况下，只需用最大边与其余两边之和比较。【解答】（C）.较小两边之和＝4+8＝12cm，最大边＝12cm，不符合“两边之和大于第三边”，所以选（C）。【例2】若ABC的三边长分别为整数，周长为11，有一边长为4，则这个三角形的最大边长为________.【分析】利用“三角形两边之和大于第三边”得出最长边可取值的范围，然后取其中的最大值。【解答】设最长边长为x，则第三边为11－4－x，所以11－4－x+4x，x5.5;x为最长边，所以x4且x11－4－x，x4;所以4x5.5，整数x＝5.【例3】三角形的三边长分别为a，b，c，那么代数式c2+2ab-b2-a2是（）（A）小于零（B）等于零（C）大于零（D）与零的大小关系不能确定【分析】因式分解后，利用“三角形两边之和大于第三边”判断因式符号。【解答】c2+2ab-b2-a2＝c2-(a-b)2=(c+a-b)(c+b-a)，因为两边之和大于第三边，c+a-b0,c+b-a0,所以原式0，选C2．内角的计算【例1】如图，已知1＝20°，2＝25°，A＝35°，求BDC的度数。【分析】利用“三角形内角和等于180°”计算。【解答】BDC180BCDDBC＝－－，A12BCDDBC180＋＋＋＋＝BDC180BCDDBCA12BCDDBC180＝－－，＋＋＋＋＝所以BDCA1280＝＋＋＝【例2】在不等边三角形，它的最小内角的取值范围是________.【分析】利用内角和定理，并注意到是最小内角。【解答】设三内角为,,，且,，则60,3180，且三角形内角0.所以600.【点评】在讨论取值范围是不要忘了内角大于零度，并且不要遗漏“°”.【例3】ABC中，如果A90AB90,AC90,，那么ABC是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等腰三角形【分析】用内角和定理结合提干信息，得到每个内角的取值范围。【解答】AB180C90C90.AC90，所以，同理B90根据三角形的分类，三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，选（A）。【例4】已知ABC中，BDAC,CEAB,D、E为垂足，BD、CE交于点H，如图，BHC120＝，求A的度数。【分析】用内角和定理以及“直角三角形两锐角互余”，加上一个量再减去这个量保持原数量不变。【解答】A180ABCACB180ABCHCBACBHBCHCBHBC1809090180BHC18012060.=－－=－（＋）－（＋）－=＝【点评】此题涉及了4个三角形的内角和关系，处理这样看似复杂的题目，只要理清关系就迎刃而解。3．内角与外角的联系【例1】ABC中，AB、的外角平分线交于点O，如果AOB60＝，求C的度数。【分析】利用内角和定理以及“三角形外角等于其不相邻两内角的和”计算。【解答】ABDBAEBACCABCC180C＋＝＋＋＝＋.AOBABDBAE180ABDBAE240C.60＋（＋）＝，＋＝，＝【基础训练】1.三条线段a，b，c如能组成三角形，那么它们的长度比可能是（）（A）1：2：4（B）1：3：4（C）3：4：7（D）2：3：42.已知三角形的三边分别为1，x，5，且x为整数，求x.3.对于ABC，下列命题中不正确的是（）（A）如果BCA＝，那么ABC是直角三角形（B）如果BCA，那么ABC是锐角三角形（C）如果BCA，那么ABC是钝角三角形（D）如果ABC＝＝，那么ABC是直角三角形4.已知ABC的三个内角满足关系式BC3A＝，则此三角形（）（A）一定有一内角为45°（B）一定有一内角为60°（C）一定是直角三角形（D）一定是钝角三角形5.如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形,腰长x应在的范围是()（A）x4cm（B）x2cm（C）x≥4cm（D）x≥2cm6.在△ABC中,∠A=2∠B=75°,则∠C等于()（A）30°（B）67°30′（C）105°（D）135°7.若三角形两边长分别为6cm和2cm,第三边长为偶数,则第三边长为()（A）2cm（B）4cm（C）6cm（D）8cm8.一个三角形有_____条角平分线,______条中线,_____条高.9.三角形两边分别为5cm和6cm,则第三边c的范围为_____.10.若等腰三角形两边长分别为3和4,则它的周长为______.11.在ABC中,∠A=∠B=∠C,则∠A=_____.12.在ABC中,AC25,BA10,则∠B=______.13.在ABC中,B40,C60,B,C的平分线交于点O,则BOC___.【能力提高】1.已知a，b，c是三角形的三边长，那么代数式2222cbaba的值是（）（A）小于零（B）等于零（C）大于零（D）不能确定2.已知△ABC是等腰三角形（1）如果AB＝8cm，BC＝16cm，求AC之长；（2）如果AB＝8cm，BC＝12cm，求AC之长.3.ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD，把ABC分成两个三角形，其周长之差为4cm，如果ABC的周长为16cm，求此三角形三边之长。4.如图,在△ABC中,AF、CE、BD都是中线,且交于点H,在图中找出△ABH、△AHC、△BHC的三边AB、AC、BC边上的中线.H22题AEFCBD5.两根木棒的长分别是7cm和10cm,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,第三根木棒的长有什么限制?说明理由.6.一个零件的形状如图,按规定∠A应等于90°,∠B与∠C应分别是32°和21°,检验工人量得∠BDC=148°,就判断这个零件不合格,试用三角形有关知识说明理由.7.如图,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,BD、CE分别是边AC、AB上的高,并相交于H,求∠BHC的度数.第二讲全等三角形【知识要点】1．全等三角形的概念：经过平移、翻折、旋转能够重合的两个三角形叫做全等三角形。【注意】互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。2.两个全等三角形的表示：ABC≌DEF【注意】把对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。4.全等三角形的判定（1）两边夹一角对应相等：S.A.S；（2）两角夹一边对应相等：A.S.A；（3）两角一对边对应相等：A.A.S；（4）三边对应相等：S.S.S；【学习目标】1.理解全等形的概念；2.理解全等三角形的性质；3.熟练使用全等三角形的4条判定法则，并利用全等三角形的性质证明边或者角的关系。【典型例题】1．全等三角形的性质【例1】如图，AB=AD,AC=AE,如果ABE≌ACD全等，BAD＝90°,BE=10,CAE＝_______,CD=____.【分析】利用全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。【解答】ABE≌ACD，则BAD＝CAE＝90°,BECD10.2．全等三角形的判定【例1】如图，已知BACDAE,ABDACE,ADAE＝＝,求证：ABAC,BDCE【分析】只要证明ABD≌ACE，就可证明ABAC,BDCE。已知ABDACE＝,ADAE，如果能再找出一对角相等就可判定全等。由已知BACDAE＝，则BACDACDAEDAC＝，即BADCAE＝【解答】ABDACE,BADCAE,ADAE＝＝ABDACEA.A.S≌ABAC,BDCE【点评】从已知条件中获取足够信息证明两个三角形全等，进而证明对应边相等、对应角相等，是重点考察的内容。而利用角和边的等量加减等量其和差相等，也是常用技巧。【例2】如图，A在OC上,B在OD上,OA=OB,OC=OD,BC与AD相交于T，求证：OT平分COD.【分析】只要证明AOTBOT＝，就是OT平分COD,可寻求证明COTDOT≌,为此要证CT=DT，这样又要证CD，那么可从判定COBDOA≌入手。【解答】COBDOA,OBOA,OCOD＝COBDOAS.A.S≌CDATCBTD,ACBD又＝ATCBTDA.A.S≌CTDTOCOD,OTOT又COTDOTS.S.S≌COTDOT【点评】证明全等三角形并利用其性质和其他信息证明另一对三角形全等，是一个难点，只要我们耐心就可以解决。【例3】水管沿公路直线铺设，A、B是公路同侧的两个居民点，为了给这两点供水需在总水管上选一点P，使自P到A、B所铺设水管的总长最短，问P应设在总水管上哪一点？【分析】自点A向总水管所在直线l引垂线，垂足为D，延长AD到A',使AD=A'D，这样l就是AA'的中垂线，联结A'B交l于P，点P即为所求点。【解答】在l上取异于点P的点P1，则AP1=A'P1'(中垂线定理）1111APBP=A'P+BPA'BAPPB【点评】这个取对称点利用中垂线定理的解法叫做“轴对称变换法”，是解决此类问题的典型解法，需要体会掌握。【基础训练】1.如图AB=AC,AD=AE,CD与BE交于点F，则①ABE≌ACD;②BDF≌CEF;③F在A的平分线上.以上结论正确的是（A）只有①（B）只有②（C）只有①②（D）①②③2.下列命题中正确的是（）（A）全等三角形的高相等（B）全等三角形的中线相等（C）全等三角形的角平分线相等（D）全等三角形对应角的平分线相等3.ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与ABC全等，这样的三角形最多可以画出（A）2个（B）4个（C）