25三角公式

一、两角和与差的三角函数二、二倍角公式(升幂公式)(降次公式)sin()=sincoscossincos()=coscossinsin-+tan()=tantan1tantan-+asin+bcos=a2+b2sin(+)cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2sin2=2sincostan2=2tan1-tan2sin2=1-cos22cos2=1+cos22三、半角公式四、万能公式五、其它公式sin3=3sin-4sin3;cos3=4cos3-3cos;sin(60-)sinsin(60+)=sin3;14cos(60-)coscos(60+)=cos3.14sin=1-cos22cos=1+cos22tan=1-cos1+cos2=sin1+cos=1-cossinsin=2tan21+tan22tan=2tan21-tan22cos=1-tan221+tan22公式选择1.从函数的名称考虑切割化弦(有时也可考虑“弦化切”),异名化同名(使函数的名称尽量统一);2.从角的特点考虑异角化同角,抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等);3.从变换的需要考虑达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目的;4.尽量避开讨论常用技巧与方法1.变换常数项将常数变换成三角函数;2.变角对命题中的某些角进行分拆，从而使命题中的角尽量统一;3.升幂或降次运用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函数式的结构;4.运用代数变换中的常用方法因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.三角函数式化简目标1.项数尽可能少;2.三角函数名称尽可能少;3.角尽可能小和少;4.次数尽可能低;5.分母尽可能不含三角式;6.尽可能不带根号;7.能求出值的求出值.典型例题1.求sin220º+cos250º+sin20ºcos50º的值.思维精析从幂入手,用降幂公式.解法1原式=++(sin70º-sin30º)1+cos100º21-cos40º212=-sin70ºsin30º+sin70º1234=.34思维精析从形入手,配成完全平方.=.3412解法2原式=(sin20º+cos50º)2+cos250º3412=[sin(50º-30º)+cos50º]2+cos250º34=(sin50ºcos30º)2+cos250º34思维精析从角入手,化异角为同角.=.34解法3原式=sin2(50º-30º)+cos250º+sin(50º-30º)cos50º=(sin50ºcos30º-cos50ºsin30º)2+cos250º+(sin50ºcos30º-cos50ºsin30º)cos50º=(sin250º+cos250º)34思维精析从式入手,构造对偶式.解法4设x=sin220º+cos250º+sin20ºcos50º,=.34思维精析从三角形入手,构造图形,利用正余弦定理.解法5设△ABC外接圆半径为1,A=20º,B=40º,y=cos220º+sin250º+cos20ºsin50º.则x+y=2+sin70º①,x-y=-cos40º+cos100º-sin30º②.x=(2+sin70º-cos40º+cos100º-sin30º)12=(+sin70º-2sin70ºsin30º)1232则C=120º.由正余弦定理知:原式=sin220º+sin240º+sin20ºsin40º=sin220º+sin240º-2sin20ºsin40ºcos120º=sin2120º=.34得:2①+②∴sin220º+cos250º+sin20ºcos50º的值为.341.求sin220º+cos250º+sin20ºcos50º的值.2.已知,cos(-)=,sin(+)=-,求sin2的值.243131235解:∵,243∴0-,+.423∴sin(-)=,cos(+)=-,45135∴sin2=sin[(+)+(-)]=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=-+(-)351312451356556=-.∴sin(-)0,cos(+)0,3.已知sin+cos=2sin,sincos=sin2,求证:2cos2=cos2.4.已知sin=msin(2+),其中m0,2+k(kZ),求证:tan(+)=tan.1-m1+m证:∵sin+cos=2sin,∴(sin+cos)2=4sin2.∴1+2sincos=2(1-cos2).∵sincos=sin2,∴1+2sin2=2(1-cos2).∴1+1-cos2=2(1-cos2).∴2cos2=cos2.证:∵sin=msin(2+),∴m=.sinsin(2+)=tan(+).∴tan=tan1-m1+msin(2+)+sinsin(2+)-sin=tan2sin(+)cos2cos(+)sin∴tan(+)=tan.1-m1+m另证:∵sin=msin(2+),∴sin[(+)-]=msin[(+)+].∴sin(+)cos-cos(+)sin整理得(1-m)sin(+)cos=(1+m)cos(+)sin.=m[sin(+)cos+cos(+)sin].∴tan(+)=tan.1-m1+m4.已知sin=msin(2+),其中m0,2+k(kZ),求证:tan(+)=tan.1-m1+m5.已知tan,cot是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根,且3,求cos(3+)+sin(+)的值.72解:由已知k2-3=tancot=1,∴k2=4.∴k=tan+cot0.∵3,是第三象限角,72∴tan+cot=2.∴tan=1.∴=3+.4∴cos(3+)+sin(+)=cos+sin44=2.=cos(6+)+sin(4+)446.已知tan(-)=,tan=-,且,(0,),求2-的值.1217解:由已知tan=tan[(-)+]1217-1217×1+=13=.∴tan(2-)=tan[(-)+]1213+1213×1-==1.∵tan0,tan0,,(0,),∴0,.22∴--0.又tan(-)0,∴---.2∴-2-0.2-=-.43∴由tan(2-)=1知注亦可由tan1得0.4∴02.2∴-2-0.7.计算-+64sin220º.sin220º3cos220º1sin220ºcos220º3cos220º-sin220º解:原式=+64sin220ºsin220ºcos220º(3cos20º+sin20º)(3cos20º-sin20º)=+64sin220ºsin240º16sin80ºsin40º=+64sin220º=32cos40º+64sin220º=32(1-2sin220º)+64sin220º=32.8.已知sin2=(--),函数f(x)=sin(-x)-sin(+x)+2cos.(1)求cos的值;(2)若f-1(x)表示f(x)在[-,]上的反函数,试求f-1(-)的值.342352210102解:(1)∵--,∴-2-.3432∴cos0,cos20.∴由已知可得cos2=-.45故由cos2=2cos2-1得cos=-.1010(2)f(x)=sin(-x)-sin(+x)+2cos=-2cossinx+2cos=-2cos(sinx-1)=(sinx-1).1051010由(sinx-1)=-得105sinx=.1222∵x[-,],∴x=.66∴f-1(-)=.1010解法1∵sin22+sin2cos-cos2=1,∴4sin2cos2+2sincos2=2cos2.1.已知sin22+sin2cos-cos2=1,(0,),求sin,tan的值.2∴cos2(2sin2+sin-1)=0cos2(2sin-1)(sin+1)=0.∵(0,),2∴cos20,sin+10.∴2sin-1=0.∴sin=.12∴=.6∴tan=.33故sin,tan的值分别为和.3312解法2∵sin22+sin2cos-cos2=1,∴sin2cos-cos2=1-sin22=cos22.∴2sincos2=2cos2cos2.∵(0,),2∴cos20.∴sin=cos2.即cos(-)=cos2.2∵-(0,),2(0,),且y=cosx在(0,)内是减函数,22∴-=2.2∴=.6∴sin=,tan=.1233课后练习解法3由已知sin22+sin2cos-cos2-1=0,可看作关于sin2的一元二次方程.解这个一元二次方程得:sin2=-coscos2+4(1+cos2)2=.-cos3cos2∵(0,),2∴sin2=cos.即2sincos=cos.∴=.6∴tan=.33∴sin=.121.已知sin22+sin2cos-cos2=1,(0,),求sin,tan的值.2故sin,tan的值分别为和.33122.已知cos=-,cos(+)=,且(,),+(,2),求.13122617223232323解:∵(,),+(,2),∴(0,).2672又由已知得sin=-,sin(+)=-,135∴cos=cos[(+)-]=cos(+)cos+sin(+)sin=(-)+(-)(-)1312135261722672=-.22∴=.433.已知tan(+)+tan=a,cot(+)+cot=b,求证:ab(ab-4)=(a+b)2.44证:∵a=cos(+)cossin(++)44=,cos(+)cossin(+2)44b=.sin(+)sinsin(+2)444sin(+)sincos(+)cossin2(+2)44∴ab==2sin(+2)sin22[1-cos(+4)]2cos2sin22(1+sin4)sin44(1+sin4)==.∴ab-4=.sin44sin2416(1+sin4)∴ab(ab-4)=.44又∵a+b=tan(+)+cot(+)+tan+cot=+2sin(+2)2sin22cos22=+sin22sin44(sin2+cos2)=,∴(a+b)2=sin2416(sin2+cos2)2sin2416(1+sin4)=.∴ab(ab-4)=(a+b)2.4.已知sin(+2)sin(-2)=,(,),求2sin2+tan-cot-1的值.244144解:由已知=sin(+2)sin(-2)1444=sin(+2)cos(+2)44=sin(+4)212=cos4.12∴cos4=.12