平面向量的基本定理及坐标表示

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示问题提出t57301p21.向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2.怎样理解向量的数乘运算λa？（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ0时，λa与a方向相同；λ0时，λa与a方向相反；λ=0时，λa=0.3.平面向量共线定理是什么？4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？GF1F2非零向量a与向量b共线存在唯一实数λ，使b＝λa.5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.探究（一）：平面向量基本定理思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？e1e22e2BCO3e1Ae1D3e1＋2e2e1-2e2思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平行四边形？MNOABCP思考7：根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.思考8：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相同？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示[0°，180°]思考1：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量a和b，作a，b，如图.为了反映这两个向量的位置关系，称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？OAOBbaabABO思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ba思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？BaiOjAP232aij思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？aixyOjxy思考5：相等向量的坐标必然相等，作向量a，则(x，y)，此时点A是坐标是什么？OAOAAaixyOjA(x,y)理论迁移例1如图，已知向量e1、e2，求作向量－2.5e1＋3e2.e1e2COA－2.5e1B3e2例2如图，写出向量a，b，c，d的坐标.2452abcd－4－2－5－2xyOa=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-3)d=(2,-3)小结作业1.平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点.2.向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°.3.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示问题提出1.平面向量的基本定理是什么？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).3.用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径.我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等.探究（一）：平面向量的坐标运算思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1),b=(x2，y2),则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，思考2：根据向量的坐标表示，向量a＋b，a－b，λa的坐标分别如何？a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2);λa＝(λx1，λy1).思考3：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2);a－b＝(x1－x2，y1－y2);λa＝(λx1，λy1).oxyBAABAB思考4：如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？一般地，一个任意向量的坐标如何计算？＝(x2－x1，y2－y1).AB任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.思考6：若向量a=(x，y)，则|a|如何计算？若点A(x1,y1)，B(x2，y2)，则如何计算？AB222121AB(xx)(yy)AaxyO22xya探究（二）：平面向量共线的坐标表示思考1：如果向量a，b共线（其中b≠0），那么a，b满足什么关系？思考2：设a=(x1，y1),b=(x2，y2)，若向量a，b共线（其中b≠0），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？a＝λb.向量a，b（b≠0）共线1221xyxyaxyObABCDABCDkk=思考3：如何用解析几何观点得出上述结论？向量a，b（b≠0）共线1221xyxy理论迁移例1已知a=(2,1),b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐标.a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，3a＋4b＝(－6，19).例2如图，已知ABCD的三个顶点的坐标分别是A（-2，1）、B（-1,3）、C(3,4)，试求顶点D的坐标.oxyABCDD（2，2）例3已知向量a=(4，2)，b=(6，y),且a∥b，求y的值.y＝3例4已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点是否共线？，A、B、C三点共线.2ABAC3