《数学建模方法及其应用》教学片

第十九章模糊数学方法32020年2月3日模糊数学的基本概念；模糊关系与模糊矩阵；模糊聚类分析法；模糊模式识别法；案例分析：中介服务机构信誉评估。模糊综合评判法；一、模糊数学的基本概念42020年2月3日1.问题的引入在社会实践中，模糊概念或现象无处不在.如好与坏、大与小、厚与薄、快与慢、长与短、轻与重、高与低、贵与贱、软与硬、深与浅、美与丑、黑与白、早与晚、生与熟、动与静、穷与富、疏与密等等．如何对与这些概念有关问题给出定量分析呢？模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量变化规律的一种数学方法．52020年2月3日2.模糊集与隶属函数一、模糊数学的基本概念(1)模糊集与隶属函数的定义通常将所讨论的对象限制在一定的范围内，称所讨论的对象全体构成的集合为问题的论域，记为U。并总假设问题的论域是非空的．设U是论域，则U的所有子集组成的集合称为论域U的幂集，记作)(UF．例如：},,{cbaU，则},,}{,{},,{},,{},{},{},{,)(cbacbcabacbaUF．62020年2月3日2.模糊集与隶属函数一、模糊数学的基本概念(1)模糊集与隶属函数的定义一般地，对于论域U的每一个元素Ux和某一个子集（普通集）UA，有Ax，或Ax，二者有且仅有一个成立．对于子集A定义映射1,0:UA，即AxAxxA,0,1)(则称之为A的特征函数，集合A可由特征函数唯一确定．72020年2月3日2.模糊集与隶属函数一、模糊数学的基本概念论域U上的模糊集A是指：对任意Ux总以某个程度])1,0[(A属于A，而非Ax或Ax．定义1设U是一个论域，如果给定了一个映射]1,0[)(]1,0[:xxUAA则就确定了一个模糊集A，其映射A称为模糊集A的隶属函数，)(xA称为x对A的隶属度．使5.0)(xA的点0x称为A的过渡点，即是模糊性最大的点．82020年2月3日2.模糊集与隶属函数一、模糊数学的基本概念(1)模糊集与隶属函数的定义对一个确定的论域U可以有多个不同的模糊集，记U上的模糊集的全体为)(UF，即]}1,0[:|{)(UAUFA则)(UF就是论域U上的模糊幂集，显然)(UF是一个普通集合，且)(UFU．92020年2月3日2.模糊集与隶属函数一、模糊数学的基本概念（2）模糊集的表示法对论域},,,{21nxxxU，A是U上的任一个模糊集，其隶属度为)(iAx),,2,1(ni，则有Zadeh表示法：nnAAAniiiAxxxxxxxxA)()()()(22111这里“iiAxx)(”不是分数，“＋”也不表示求和，只是符号，它表示点ix对模糊集A的隶属度是)(iAx．102020年2月3日2.基本概念---模糊集与隶属函数一、模糊数学的基本概念（2）模糊集的表示法序偶表示法：))(,(,)),(,()),(,(2211nAnAAxxxxxxA向量表示法：)(,),(),(21nAAAxxxA对论域U为无限集的，则U上的模糊集A可以表示为UAxxA)(，这里“”不是积分号，“xxA)(”也不是分数．11定义2设模糊集)(,UFBA，其隶属函数为)(),(xxBA,(1)若xU，有)()(xxAB，则称A包含B，记AB；（３）模糊集的运算一、模糊数学的基本概念2.模糊集与隶属函数定义3设模糊集)(,UFBA，其隶属函数为)(),(xxBA,则称BA和BA为A与B的并集和交集；称cA为A的补集或余集。2020年2月3日(2)若BA且AB，则称A与B相等，记为AB．12它们的隶属函数分别为))(),(max()()()(xxxxxBABABA))(),(min()()()(xxxxxBABABA)(1)(xxAAc一、模糊数学的基本概念2.模糊集与隶属函数2020年2月3日其中“”和“”分别表示取大算子和取小算子．并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算。133.隶属函数的确定方法---模糊统计方法模糊统计方法：一种客观方法.在模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的．模糊统计试验必须包含下面的四个要素：一、模糊数学的基本概念2020年2月3日(1)论域U；(2)U中的一个固定元素0x；(3)U中的一个随机变动的集合*A（普通集）；(4)U中的一个以*A作为弹性边界的模糊集A，对*A的变动起着制约作用．其中*0Ax，或*0Ax，致使0x对A的隶属关系是不确定的．14假设做n次模糊统计试验，则：0x对A的隶属频率＝nAx的次数*0一、模糊数学的基本概念3.隶属函数的确定方法---模糊统计方法2020年2月3日事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x对A的隶属度，即nAxlim)(0nAx的次数*015如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布．指派方法:根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数．常用的模糊分布：矩形分布、梯形分布、正态分布、k次抛物线型分布、Γ型分布、柯西型分布等.具体见书上表19-1（第325页）一、模糊数学的基本概念3.隶属函数的确定方法---指派方法2020年2月3日16偏小型模糊分布一般适合于描述像“小”、“少”、“浅”、“淡”、“冷”、“疏”、“青年”等偏向小的程度的模糊现象．偏大型模糊分布一般适合于描述像“大”、“多”、“深”、“浓”、“热”、“密”、“老年”等偏向大的程度的模糊现象．中间型模糊分布一般适合于描述像“中”、“适中”、“不太多”、“不太少”、“不太深”、“不太浓”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊现象．一、模糊数学的基本概念3.隶属函数的确定方法2020年2月3日17定义4设论域VU,，则称乘积空间VU上的一个模糊子集)(~VUFR为从U到V的模糊关系．如果~R的隶属函数为由于模糊关系是VU上的一个模糊子集，因此，同样具有模糊集的运算及性质．二、模糊关系与模糊矩阵1.模糊关系与模糊矩阵的概念2020年2月3日]1,0[:~VUR),(),(~yxyxR则称隶属度),(~yxR为),(yx关于模糊关系~R的相关程度．18设},,,{},,,,{2121nmyyyVxxxU，~R是由U到V的模糊关系，其隶属函数为),(~yxR，对任意的VUyxji),(有),,2,1;,,2,1](1,0[),(~njmiryxijjiR，记nmijrR)(，则R称为模糊矩阵．特别地，如果),,2,1;,,2,1}(1,0{njmirij，则称R为布尔(Bool)矩阵．1.模糊关系与模糊矩阵的概念2020年2月3日当1m，或1n时，则相应的),,,(21nrrrR和TmrrrR),,,(21，则分别称为模糊行向量和模糊列向量．19二、模糊关系与模糊矩阵2.模糊等价与模糊相似定义6若模糊关系)(~VUFR，且满足：(1)自反性：),(~xxR1；(2)对称性：),(),(~~xyyxRR；(3)传递性：~~~RRR当论域为},,,{21nxxxU时，U上的模糊等价关系可表示为nn阶模糊等价矩阵nnijrR)(．2020年2月3日则称~R是U上的一个模糊等价关系，其隶属度函数),(~yxR表示),(yx的相关程度．20对于满足自反性和对称性的模糊关系~R与模糊矩阵R，则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵．定义7设论域为},,,{21nxxxU，I为单位矩阵，如果模糊矩阵nnijrR)(满足：2.模糊等价与模糊相似2020年2月3日(1)自反性：),,2,1,1(nirRIii；(2)对称性：),,2,1,;(njirrRRjiijT；(3)传递性：RRR．则称R为模糊等价矩阵．21定义8设nmijrR)(为模糊矩阵，对任意的]1,0[．(1)如果令njmirrrijijij,,2,1,,2,1,0,1)(则称nmijrR)(为R的－截矩阵．二、模糊关系与模糊矩阵3.λ－截矩阵与传递矩阵2020年2月3日(2)如果令njmirrrijijij,,2,1,,2,1,0,1)(则称nmijrR)(为R的－强截矩阵．对任意的]1,0[，－截矩阵是布尔矩阵．22对任意nnijrR)(，则nnkijnknkkrRRt)(11)(。定义9设R是nn阶的模糊矩阵，如果满足RRRR2则称R为模糊传递矩阵．将包含R的最小的模糊传递矩阵称为R的传递包，记为)(Rt．3.λ－截矩阵与传递矩阵2020年2月3日特别地，当R为模糊相似矩阵时，则存在一个最小的自然数)(nkk，使得kRRt)(，对任意自然数kl都有klRR，即)(Rt为模糊等价矩阵．23在许多工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按一定的标准（相似的程度、亲疏关系等）进行分类处理。这种对客观事物按一定标准进行分类的数学方法主要就是聚类分析法。模糊聚类分析法：根据事物的某些模糊性质进行分类的一种数学方法．模糊聚类分析法的一般步骤：三、模糊聚类分析方法2020年2月3日24设论域},,,{21nxxxU为所需分类的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即),,2,1}(,,,{21nixxxximiii，则mnijxA．三、模糊聚类分析方法在实际问题中为使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵A做标准化的处理，即通过适当的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵．1.数据标准化2020年2月3日(1)获取数据(2)数据的标准化处理25如果原始数据之间有不同的量纲，则用这种变换后使每个变量的均值为0，标准差为1．即令),,2,1;,,2,1(mjnisxxxjjijij1.数据标准化2020年2月3日1）平移－标准差变换其中),,2,1()(1,121121mjxxnsxnxnijijjniijj．261.数据标准化如果经过平移-标准差变换后还有某些]1,0[ijx，则需进行平移-极差变换，即令),,2,1(minmaxmin111mjxxxxxijniijniijniijij2020年2月3日2）平移－极差变换显然所有的]1,0[ijx，且也不存在量纲因素的影响，从而可以得到模糊矩阵mnijxR27设论域},,,{21nxxxU，),,2,1}(,,,{21nixxxximiii，即数据矩阵为mnijxA，如果ix与jx的相似程度为),,2,1,)(,(~njixxRrjiij，则称之为相似系数，确定ijr的方法：三、模糊聚类分析方法2.建立模糊相似矩阵具体选用要根据问题的性质和使用的方便来确定．（详见教材第329-322页）2020年2月3日数量积法、夹角余弦法、相关系数法、指数相似系数法、最大最小值法、算术平均法、绝对值倒数法、绝对值指数法、海明距离法、欧氏距离法、切比雪夫距离法、主观评分法。三、模糊聚类分析方法3.聚类一般的模糊矩阵R只是一个模糊相似矩阵，不一定是模糊等价矩阵．282020年2月3日首先需要由R来构造一个模糊等价矩阵R，根据传递闭包的性质，可以用平方法求出R的传递包RRt)(，即为一模糊等价矩阵．(1)传递闭包法然后，由大到小取一组]1,0[值，确定相应的-截矩阵，则可以将其分类，同时也可构成动态聚类图。设论域为},,,{21nxxxU，R是U上的模糊相似矩阵，对于确定的水