《数学物理方程讲义》ppt文件教案

数学物理方程苏州大学数学科学学院引言•《数学物理方程》•偏微分方程理论：是数学领域偏微分方程方向的最基本的入门课程。主要研究具有实际背景的偏微分方程或偏微分方程组。是数学的基础学科之一。•偏微分方程涉及十分广泛：•近年来的热门课题：•从事偏微分方程理论及其应用研究的人数众多：如物理、化学、生物、经济等自然科学、社会科学和工程技术领域，还与其它许多数学分支有紧密的联系；将偏微分方程应用于计算机图像处理及金融领域；据说占所有从事数学及其应用研究的人数的一半以上。一、本学期要学的主要内容1、建立偏微分方程（PDE）应用数学理论、方法及有关技巧，研究一些具有典型意义的物理现象，导出相应的数学模型──偏微分方程。2、偏微分方程（PDE）理论初步①、一些基本的方法和技巧：包括特征线法、分离变量法、Green函数法、Fourier变换法、能量不等式、极值原理以及基本解、广义函数等等。②、讨论三类典型二阶方程定解问题的解的存在性、唯一性和稳定性：包括波动方程、热传导方程和位势方程。③、二阶线性偏微分方程分类二、《数学物理方程》课程的特点：1、数学理论、解题方法与物理实际有机结合。可以学到：如何根据物理现象建立偏微分方程模型及寻找求解方法，并用偏微分方程有关理论来解释物理现象。2、需要综合应用多门数学学科知识可以巩固、复习有关数学学科知识，提高综合运用这些知识的能力。如《数学分析》、《常微分方程》、《线性代数》等。3、解题过程较繁、计算量较大可以培养耐心、细致的计算能力，这也是数学专业学生必备的能力，是数学专业的基本功。三、《数学物理方程》学习难点1、涉及较多的物理知识；2、大量应用多元微积分、含参变量积分以及Fourier级数等有关的知识、技巧；3、综合应用多门已学课程；4、计算量较大。关于教材•《数学物理方程讲义》；•前苏州大学校长姜礼尚等编；•曾获国家教委优秀教材奖；•第一版是姜礼尚先生在北大时与陈亚淅、刘西垣合编；•第二版是姜礼尚先生在苏大时改编；前苏大易法槐教授也加入了编者的行列；•第三版是姜礼尚先生在同济大学改编,即将出版。•姜礼尚先生被骋为苏州大学数学科学学院应用数学研究所所长。•欢迎考研的同学们报考应用数学偏微分方程方向的研究生！！！参考书•《数学物理方程》，复旦大学数学系主编•《数学物理方法》，Courant和Hilbert编（经典但较老）•《PartialDifferentialEquation》，FritzJohn编（经典教材）一些基本概念•PDE（偏微分方程PartialDifferentialEquation）：含有多元未知函数的偏导数的方程；•ODE（常微分方程OrdanaryDifferentialEquation)；•PDE的阶：方程中出现的未知函数最高阶偏导数的阶；•线性PDE：方程中的任一项或者与未知函数无关，或者是已知函数与未知函数或其某一偏导数的乘积。•非线性PDE：不是线性的PDE统称为非线性PDE。•本课程主要讨论三类二阶线性PDE。例是二阶线性PDE。是一阶非线性PDE。221uuutx∂∂−=+∂∂0uuutx∂∂−=∂∂第一章方程的导出和定解条件一、本章内容：1.根据典型的问题导出数学物理方程──偏微分方程。2.介绍变分原理。3.介绍偏微分方程基本概念。二、采用方法1.用Newton定律、守恒律及其它实验定律方法导出偏微分方程及定解条件。2.用变分原理推导Euler方程及定解问题。§1.守恒律一、方程推导1．问题提法一长为的柔软、均匀的细弦，拉紧后让它离开平衡位置，在垂直于弦线的外力的作用下，作微小的横振动，求在不同时刻弦线的形状。l↑↓0l§1.1动量守恒与弦振动方程2．数学提法xu以弦平衡位置所在直线为轴，弦运动平面内，过弦的一端作垂直于弦平衡位置的直线为轴，建立直角坐标系。问题的数学提法：123456x-1-0.50.51u123456x-1-0.50.51u0246x00.511.52t-1-0.500.51u0246x(,)(,)txuxtuuxt=设　　时刻，对应于点处的位移为，求函数3．分析、假设①．波动原因：对小段弦而言，弦受外力、张力共同作用引起位移、加速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton第二定律：F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。②．术语及假设：柔软──均匀──细弦──外力──微小的振动─拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。kg/mρ弦的线密度为常数，可设为。抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。想的曲线。，弦可视为理远小于弦的直径与长度之比远1000(/)00fNmff线密度可设为；方向：向上，＜向下。(,)1,0uxtx∂∂　　。故其高阶项可近似看着为bα4.受力分析及各物理量计算公式①．受力分析：如图：小段弦受外力、张力共同作用2abπαα≤≤这里0、abuxABaαaxTayTbyTbxT0faTbT②．各量计算公式：垂直方向合力大小（方向向上）：其中iu=(0,1)为指向u轴正向的单位向量，△s为弧长。水平方向合力大小：小段弦质量：小段弦加速度：0sinsinaabbfsαα=Δ−−TTcoscos(0)aabbαα−+=TT　，横振动sΔρ()202(,)aubuuxtsfstρ∂×ΔΔ+⋅+⋅∂TiTi＝0cos(,)cos(,)aaubbufs=Δ++TTiTTi0aubufsΔ+⋅+⋅TiTi③．各量近似、简化：根据微小振动条件因此由数学分析的近似关系：由横向的平衡条件得：(,)1uxtx∂∂()21.bxasudxbaΔ=+≈−∫coscosaabbαα=TT(,)sintan,cos1,bbbxbuxtxααα=∂≈=≈∂－(,)sintan,aaxauxtxαα=∂≈=∂0.abT⇒≈≡TT2cos1sin1,aaαα−≈＝5．方程导出由Newton第二定律及前面的计算公式、近似公式可得：于是得：0sinsinaabbfsααΔ−−TT22(,)(),uxtbatρ∂≈−∂000()tantanabfbaTTαα≈−−−000(,)(,)()xaxbuxtuxtfbaTTxx==∂∂=−−+∂∂22(,)uxtstρ∂=Δ∂00(,)(,),xbxauxtuxtxxfTba==∂∂−∂∂+−22(,)uxttρ∂=∂0ba−→令得:2002(,),uxtfTx∂+∂22(,)uxttρ∂=∂ρ两边同除以，　就得出弦振动方程：22222(,)(,)(,),uxtuxtafxttx∂∂−=∂∂.),(),(002ρρtxftxfTa==，　其中注意：由前面的推导，边界张力的垂直分量为：bαabABaαaxTayTuxbyTbxT0faTbT00(,)(,),.aubuxaxbuxtuxtTTxx==∂∂⋅=−⋅=∂∂TiTi22222(,)(,)(,),uxtuxtafxttx∂∂−=∂∂200(,)(,).Tfxtafxtρρ==，　其中0T是弦的张力的大小，0总结：弦振动方程：f是外力的线密度，是弦的线密度，ρρ和0T是正数，00f外力方向向上，00f外力方向向下。{0(,).buxbuxtTx=∂⋅=∂Ti左端点张力的垂直分量为：0(,),auxauxtTx=∂⋅=−∂Ti右端点张力的垂直分量为：bαabABaαaxTayTuxbyTbxT0faTbTxtl02ttxxuauf−=二、定解条件0(),0,tuxxlϕ==≤≤0(),0,ttuxxlψ==≤≤①．已知初始位移：1．初始条件：②．已知初始速度：①．第一类边界条件：（已知边界位移）2．边界条件：10(),0,,xugtt==≥2(),0.xlugtt==≥当时，称该端为固定端。()0(12)igti≡=或边界条件初始条件②．第二类边界条件：（已知边界张力垂直分量）10(),0,xxugtt=−=≥10()(),0,,xxuugttα=−+=≥③．第三类边界条件：（边界有弹性支撑情形）2(),0.xxlugtt==≥当时，称该端为自由端。()0(12)igti≡=或2()(),0.xxluugttβ=+=≥其中，00.αβ、三、定解问题提法（PDE术语）：1、定解条件（从方程中确定解的条件）：初始条件、边界条件的统称。注意：定解条件是不能随意施加的！2、定解问题：方程＋定解条件。3、弦振动方程的定解问题：也称为弦振动方程的混合问题。弦振动方程＋两个初始条件＋边界条件之一弦振动方程的第一边值(Dirchlet)问题：22222(,),0,0,uuafxtxlttx∂∂−=∂∂(,0)(),0,(,0)(),0,tuxxxluxxxlϕψ=≤≤=≤≤.0),(),(,0),(),0(21≥=≥=ttgtluttgtu弦振动方程的第二边值(Neumann)问题：22222(,),0,0,uuafxtxlttx∂∂−=∂∂(,0)(),0,(,0)(),0,tuxxxluxxxlϕψ=≤≤=≤≤12(0,)(),0,(,)(),0.utgttxultgttx∂−=≥∂∂=≥∂弦振动方程的第三边值问题：22222(,),0,0,uuafxtxlttx∂∂−=∂∂(,0)(),0,(,0)(),0,tuxxxluxxxlϕψ=≤≤=≤≤120(),0,(),0.xxluugttxuugttxαβ==∂⎛⎞−+=≥⎜⎟∂⎝⎠∂⎛⎞+=≥⎜⎟∂⎝⎠4、Cauchy问题（或初值问题）：对于弦线中某一段，如果在所考虑的时间内，弦端点的影响可以忽略不计时，可以认为弦长为无穷，这时问题化为：22222(,),,0,uuafxtxttx∂∂−=−∞∞∂∂(,0)(),,(,0)(),.tuxxxuxxxϕψ=−∞≤≤∞=−∞≤≤∞xt02ttxxuauf−=初始条件五、附注1、弦振动方程具有典型性，许多有关振动问题同样可以用此方程来刻画。由于振动的一个共同特征是产生波的传播，因此，此方程也称为一维波动方程。2、弦振动方程的混合问题的边界条件也可以是三类边界条件中的不同两种。3、高维波动方程与一维波动方程类似：通常我们称该方程称为波动方程。222(,),(0)uaufxtax∂−Δ=∂维空间中的点。为为维数，　算子，为这里nxxxxnxutxunnii),,,(Laplace),(21122=∂∂=Δ∑=波动方程的第一边值(Dirchlet)问题：222(,)(,),,0,uauxtfxtxtt∂−Δ=∈Ω∂(,0)(),,(,0)(),,tuxxxuxxxϕψ=∈Ω=∈Ω(,)(,),,0.uxtgxtxt=∈∂Ω≥波动方程的混合问题：的单位外法向。为这里Ω∂nΩ∂Ωn波动方程的第二边值(Neumann)问题：(,)(,),,0.uxtgxtxtn∂=∈∂Ω≥∂222(,)(,),,0,uauxtfxtxtt∂−Δ=∈Ω∂(,0)(),,(,0)(),,tuxxxuxxxϕψ=∈Ω=∈Ω的单位外法向。为这里Ω∂nΩ∂Ωn波动方程的第三边值问题：(,)(,),,0.uuxtgxtxtnα∂⎛⎞+=∈∂Ω≥⎜⎟∂⎝⎠222(,)(,),,0,uauxtfxtxtt∂−Δ=∈Ω∂(,0)(),,(,0)(),,tuxxxuxxxϕψ=∈Ω=∈Ω的单位外法向。为这里Ω∂nΩ∂Ωn波动方程的初值问题(Cauchy问题)：4、平衡状态问题当物体在外力作用下处于平衡状态时，物体的位移不再随时间变化，此时，位移满足：该方程称为Poisson方程。222(,)(,),,0,nuauxtfxtxtt∂−Δ=∈∂R(,0)(),,(,0)(),.nntuxxxuxxxϕψ=∈=∈RR2()(),.auxfxx−Δ=∈Ω注：均匀弹性杆的微小纵振动——均匀细杆在外力作用下沿杆长方向作微小振动(,)xuxtxt设杆长方向为轴，为处的截面在时刻沿杆长方向的位移，如下图x（不振动时）abTESε振动中弦上点的张力大小由胡克定理确定：＝SEuxε∂∂其中，－截面积、－弹性系数（杨氏模量）、＝－杆在该点的相对伸长量。ab(,)uat(,)ubttx（振动时