4-1叠加定理

第四章网络定理前几章介绍了几种常用的电路元件，电路的基本定律和各种分析方法。本章介绍线性电阻电路的几个网络定理，以便进一步了解线性电阻电路的基本性质。利用这些定理可以简化电路的分析和计算。§4－l叠加定理由独立电源和线性电阻元件(线性电阻、线性受控源等)组成的电路，称为线性电阻电路。描述线性电阻电路各电压电流关系的各种电路方程，是一组线性代数方程。作为电路输入或激励的独立电源，其uS和iS总是作为已知量出现在这些方程的右边。求解这些电路方程得到的各支路电流和电压(称为输出或响应)是独立电源uS和iS的线性函数。电路响应与激励之间的这种线性关系称为叠加性，它是线性电路的一种基本性质。现以图(a)所示双输入电路为例加以说明。列出图4－l(a)电路的网孔方程：)14()(S3S32121iiuiRiRR求解上式可得到电阻R1的电流i1和电阻R2上电压u2)24(11'1S212S211iiiRRRuRRi其中S212011S2101'1SS1iRRRiiuRRiiui1'1S212S2111iiiRRRuRRi+S212011SiRRRiiu1S2101'1SuRRiii电流i1的叠加+2'2S2121S2122uuiRRRRuRRRuS21202'2SuRRRuuiS2121022SiRRRRuuu电流u2的叠加从上可见:电流i1和电压u2均由两项相加而成。第一项i’1和u’2是该电路在独立电流源开路(iS=0)时，由独立电压源单独作用所产生的i1和u2。第二项i”1和u”2是该电路在独立电压源短路(uS=0)时，由独立电流源单独作用所产生的i1和u2。以上叙述表明，由两个独立电源共同产生的响应，等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。线性电路的这种叠加性称为叠加定理。叠加定理陈述为：由全部独立电源在线性电阻电路中产生的任一电压或电流，等于每一个独立电源单独作用所产生的相应电压或电流的代数和。也就是说，只要电路存在唯一解，线性电阻电路中的任一结点电压、支路电压或支路电流均可表示为以下形式4)-(4S2S21S1S2S21S1nnmmiKiKiKuHuHuHy式中uSk(k=1,2,…,m)表示电路中独立电压源的电压;iSk(k=1,2,…,n)表示电路中独立电流源的电流。Hk(k=1,2,…,m)和Kk(k=1,2,…,n)是常量，它们取决于电路的参数和输出变量的选择，而与独立电源无关。在计算某一独立电源单独作用所产生的电压或电流时，应将电路中其它独立电压源用短路(uS=0)代替，而其它独立电流源用开路(iS=0)代替。式(4－4)中的每一项y(uSk)=HkuSk或y(iSk)=KkiSk是该独立电源单独作用，其余独立电源全部置零时的响应。这表明y(uSk)与输入uSk或y(iSk)与输入iSk之间存在正比例关系，这是线性电路具有”齐次性”的一种体现。式(4－4)还表明在线性电阻电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应，等于每个独立电源单独作用产生的响应之和，这是线性电路具有可”叠加性”的一种体现。利用叠加定理反映的线性电路的这种基本性质，可以简化线性电路的分析和计算，在以后的学习中经常用到。值得注意的是：线性电路中元件的功率并不等于每个独立电源单独产生功率之和。例如在双输入电路中某元件吸收的功率21''''''''))((ppiuiuiuiuiuiuiiuuuip需要说明的是叠加定理仅仅适用于存在唯一解的线性电路。例4－l电路如图所示。(l)已知I5=1A，求各支路电流和电压源电压US。解：用2b方程，由后向前推算：V80)10()5(A8A410)12()7(A4A34)1221S32153254354IIUIIIIIIIIIII（1A3A4A4A8A80V(2)若已知US=120V，再求各支路电流。1A3A4A4A8A80V解：当US=120V时，它是原来电压80V的1.5倍，根据线性电路齐次性可以断言，该电路中各电压和电流均增加到1.5倍，即A5.1A15.1A5.4A35.16AA45.1A12A85.154321IIIII120V12A6A6A4.5A1.5A例4－2电路如图(a)所示。若已知：试用叠加定理计算电压u。V2sin15,Vcos20)3(V5,V10)2(V10,V5)1(2S1S2S1S2S1Stutuuuuu解：画出uS1和uS2单独作用的电路，如图(b)和(c)所示，分别求出：2S2S2S21S1S1S1'2.05.025.04.032132uuuHuuuuHu根据叠加定理2S1S'2.04.0uuuuu代入uS1和uS2数据，分别得到：V)ω2sin3ωcos8(V)ω2sin152.0)ωcos200.4()3(V5V52.0V100.4)2(V4V102.0V50.4)1(ttttuuuV2sin15,Vcos20)3(V5,V10)2(V10,V5)1(2S1S2S1S2S1Stutuuuuu例4－3电路如图所示。已知r=2，试用叠加定理求电流i和电压u。解：画出12V独立电压源和6A独立电流源单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。(注意在每个电路内均保留受控源，但控制量分别改为分电路中的相应量)。由图(b)电路，列出KVL方程0)3(V12)1()2('''iii求得：V6)3(A2'''iui由图(c)电路，列出KVL方程0)A6)(3()1()2(''iii求得:最后得到：15VV9V61A3AA2''''uuuiiiV9)A6)(3(A3''''''iui例4－4用叠加定理求图4－5(a)电路中电压u。解：画出独立电压源uS和独立电流源iS单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压uS4242S424'iRRRRuuRRRu)(S2S424'iRuRRRuuu2002年春节摄于成都人民公园